j'ai pas terminé ma phrase:

où cette inclusion est stricte bien sûr !

Salut,

prend le produit scalaire sur l'espace E des fonctions continues muni de la norme uniforme.

Ensuite je pose , montre que F répond à ta question

Sinon je comprend pas ta phrase, tout sev qui est fermé évidemment, tout sev n'est pas fermé, la preuve dans ta formule tu as une adhérence(enfin je pense juste que tu t'es mal exprimé mais bon je le dis quand même pour être sur ).

Bonsoir Cauchy, ok l'espace n'est pas hilbertien mais qu'est-ce qui t'as fait penser à ce F?

Bien ici ce qui va faire marcher le truc(bon on tue le suspense pour monrow) c'est que modifier en un point une fonction continue c'est comme si tu les considérais toutes du point de vue de l'intégrale et donc l'orthogonal va être nul.  

Après quand on a un sous-espace qui vérifie cela et qui est strict c'est gagné en repassant à l'orthogonal.

Je sais pas si ca te satisfait comme réponse.

Bonjour à tous

Cauchy > le problème c'est que F est dense dans E et donc on a l'égalité.
En effet, si f est une fonction continue on peut l'approcher par la suite de fonctions continues définies par


Kaiser

Salut tout le monde,

d'abord merci pour vos réponses

Aarrgh, j'ai pas remarqué aussi cette densité !

Sinon dans ma phrase "qui est fermé évidemment", je parlais des sev de cet espace de hilbert, puisque complet alors ses sev sont tous fermés

Bonjour tout le monde

Il me semble que c'est vrai s'il est de dimension finie. Non?

Salut Jeanseb

En dimension finie, je suis d'accord.

Kaiser

Oui oui je suis d'accord !

Sinon j'ai reçu une réponse sur un autre forum:

Citation :
prends muni du produit scalaire et .

Effectivement, avec ça, ça marche : l'orthogonal de F est réduit à la fonction nulle.

On peut exactement caractérisé les éléments de F en disant que c'est l'ensemble des éléments de la forme où f est un élément de E.

On fixe donc g un élément de l'orthogonal donc pour toute f de E, on a :



On a le choix pour f donc si par exemple on la choisit nulle sur [0,1], on a l'égalité :



Or on a vu plus haut que l'on pouvait approcher g (du moins sa restriction à [-1,0]) par une suite de fonctions nulles en 0 au sens et donc ça prouve que g est nulle sur [-1,0]).

Ainsi, pour toute f, on a :



Reste à prouver que ceci implique que g est constante sur [0,1] (et donc nulle car g(0)=0).

Kaiser

Salut,

effectivement il est dense(bouh les betises que je sors ).

Kaiser>> je ne comprends la deuxième ligne ... Déjà le produit scalaire L² c'est pas ?

eu non je dis n'importe quoi, c'est même  pas un produit scalaire, c'est quoi donc ?

la deuxième ligne : je caractérise simplement l'ensemble des éléments dont l'intégrale sur [0,1] est nulle. Je ne suis pas en train de parler de produit scalaire à ce stade.

Ici, le produit scalaire que l'on considère (en prenant nos fonctions à valeurs réelles) est le suivant :

.

par contre, tu me demandes ce que signifie L² ?

Kaiser

Oui je connais ce produit scalaire, mais est ce celui là qu'on appelle L²?

oui.

Kaiser

Et puis c'est pas la deuxième ligne que j'ai pas comprise, c'est la 4ème

Désolé pour toutes ces étourderies

Je prends une fonction du type décrit de la deuxième ligne et je prends le produit scalaire de cette fonction avec g et j'obtiens l'égalité de la 4ème ligne.

Kaiser

pour montrer que g est constante, on peut utilise CS, g est lié avec toute fonction f en particulier avec la fonction constante en 1, elle est donc constante, et puisqu'elle est continue et nulle sur [-1,0] alors elle est nulle.

C'est bon?

Sauf que ici, il n'y a pas de carré ici (et dans C-S, si).

De plus,
En fait, c'est plus bête que ça.
En effet, l'égalité peut-être réécrite sous la forme suivante :



et cette égalité est vraie pour toute fonction continue. En la choisissant bien, on aura ce que l'on veut.

Kaiser