Salut Nightmare

Ce résultat n'est vraiment pas évident et utilise plein de résultats d'analyse complexe (en particulier, le théorème des famille normales). ça serait un peu long de tout détailler ici mais la preuve se trouve dans le livre de Walter Rudin (analyse réelle et complexe) que j'ai sous la main et que tu trouveras dans toute bonne bibliothèque de maths qui se respecte. Cela dit, elle se lit assez bien et surtout, se comprend assez bien. Je te donne les grandes lignes de la preuve du Rudin.

On se donne un ouvert simplement connexe non vide et différent du plan entier. On se donne donc un élément quelconque de cet ouvert et on considère l'ensemble E des fonctions holomorphes injectives qui envoient dans le disque unité ouvert (en particulier, E est une famille normale car uniformément bornée).


1ère étape : on montre que E est non vide. On utilise la simple connexité pour dire qu'une fonction holomorphe sur qui ne s'annule pas possède une racine carrée holomorphe (et d'ailleurs, c'est la seule propriété de la simple connexité que l'on utilise). Plus précisément, on se fixe un élément a du complémentaire et on prend une racine carrée holomorphe de la fonction z-> z-a et de là on bidouille pour construire un élément de E.

2ème étape : On pose (qui est fini d'après les inégalités de Cauchy).
On montre que si f est un élément de E non surjectif, alors on peut trouver un élément g de E tel que (et donc par suite, un élément f qui réalise le sup, est notre candidat pour être notre bijection biholomorphe)

3ème étape : existence de cette bijection.
Par définition du sup, il existe une suite de fonctions de E tel que converge vers . Comme E est une famille normale, on peut extraire de cette suite, une sous-suite qui converge uniformément sur les compacts inclus dans vers une fonction holomorphe f. La suite des dérivées convergent également uniformément sur tout compact vers f' et donc . Il ne reste donc plus qu'à montrer que f est dans E (c'est-à-dire que |f(z)| < 1 pour tout z et que f est injective).

Voilà, je te conseille donc d'aller la lire dans Rudin (bon, comme j'ai dit c'est pas très difficile à comprendre mais c'est très concentré en résultat) et puis s'il y a quelque chose que tu ne comprends pas, tu peux toujours demander ici.

Kaiser

Super Kaiser, quand on voit la preuve, on ne peut trouver le théorème qu'encore plus beau.

Merci beaucoup, je vais essayer de déchiffrer tout ça

Mais je t'en prie !

A noter que le résultat est faux en dimension supérieure.
D'ailleurs en dimension supérieure, les seules applications biholomorphes qui envoient 0 sur 0 sont des transformations linéaires.
Exemple, la boule unité et le produit D^2 ne sont pas biholomorphiquement équivalents ...

A noter que dans ton résultat il ne faut pas oublier de considérer le cas où ton domaine est le plan complexe tout entier qui, même non biholomorphiquement équivalent au disque (Liouville) lui est homéomorphe ...