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Application sur R/Z
Bonjour,
Je dois montrer que l'application T(x)=3x mod 1 définie sur R/Z est ergodique.
Mais avant mon problème est R/Z.
Je sais que R/Z est un cercle, mais mes camarades (enfin, avec ceux que je me suis concretée) ont fait la démonstration en traitant le cas dans le carré [0,1]² sous prétexte qu'on a fait comme cela en cours.
Quel argument justifie (ou non) le fait de se ramener au cas du carré ?
(Malheureusement, j'en ai aucune idée 
...)
bonjour,
les classes de x et de y dans R/Z sont égales ssi x-y est un entier... c'est bien cela ?
R/Z peut donc être identifié à [0;1[
je ne comprends pas cette histoire de cercle ou de carré [0,1]x[0;1]
mm
les classes de x et de y dans R/Z sont égales ssi x-y est un entier... c'est bien cela ?
C'est aussi comme cela que je le conçois.
je ne comprends pas cette histoire de cercle ou de carré [0,1]x[0;1]
Pour tout avouer, moi aussi je comprend rien à cela... C'est assez confu pour moi...
Par cette histoire de cercle ou carré,j'entends que mes camarades ont représenté le graph de la fonction dans le carré [0,1]² alors que je pense qu'il serait plus judicieux de le faire sur le cercle unité.
J'espère avoir été plus clair...
ah d'accord, tu parlais du graphe... ok
alors je vois plus cela dans le carré unité en vertu de ma remarque précédente...
x, élément de R/Z peut être représenté en abscisse par le seul élément de sa classe qui est dans [0;1[
et 3x aussi (en ordonnées)
donc le graphe est dans le carré [0;1[² ... attention : 0 compris et 1 non compris
(je ne vois pas pourquoi le graphe serait dans un cercle)
mm
Disons que l'idée du graphe dans un cercle vient de l'idée que R/Z est homéomorphe au cercle unité. Et aussi que l'argument on fait comme le prof (sans trop savoir pourquoi) ne me convient pas...
Merci pour ton aide.
je suis d'accord avec toi sur l'idée de ne pas sombrer dans l'imitation systématique...
mais là il faut représenter R/Z en abscisse... mais aussi en ordonnées... et là je ne vois pas en quoi l'homéomorphie au cercle nous sert (à moins de représenter le graphe sur un Tore)
Il est plus simple de le représenter dans un carré où les bords gauche et droits sont identifiés, ainsi que bords haut et bas... (topologie torique).
mm
Bonjour,
Oui R/Z est le cercle, il lui est diffeomorphe en tant que groupe de Lie de manière evodent par l'exponentielle (t->exp(2i\pi t), c'est l'intervalle [0,1[ dans lequel tu recolle les bords, c'est bien S1.
Le fait que ton application soit ergidique est casi immédiat. la mesure de Haar sur le cercle coincidant avec le mesure de lebesgue sur [0,1[.
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