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Niveau Maths sup
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Arithmétique acrobatique

Posté par
amatheur22
20-03-10 à 18:41

Bonjour,

n entier naturel supérieur ou égal à 2.
On pose an=(n!)²+1
1) Mq an impair(fait)
2) Montrer que an admet un diviseur premier impair  p>n.
voilà ce que j'ai fait:Si an est premier on prend an=p, et si an n'est pas premier il admet au moins un diviseur premier impair.si tous sont >n je dois aboutir à une contradiction mais je n'arrive pas pour le moment.
Si quelqu'un a une idée, merci.

Posté par
MatheuxMatou
re : Arithmétique acrobatique 20-03-10 à 18:43

bonsoir

je ne comprends pas ta distinction sur "an premier"...

de toutes façons, tout nombre supérieur à 2 admet un diviseur premier impair !

Posté par
MatheuxMatou
re : Arithmétique acrobatique 20-03-10 à 18:44

c'est quoi la question ? Montrer qu'il en existe un strictement supérieur à n ?

Posté par
Mathemagic
re : Arithmétique acrobatique 20-03-10 à 18:48

Bonjour,

Citation :
de toutes façons, tout nombre supérieur à 2 admet un diviseur premier impair !

Ca j'en doute! Mais si on rajoute impair c'est vrai!

Posté par
MatheuxMatou
re : Arithmétique acrobatique 20-03-10 à 18:51

arrête moi si je me trompe, mais si b est un entier inférieur ou égal à n, il divise (n!)², donc il est premier avec a(n)...
donc aucun entier inférieur ou égal à n ne peut diviser a(n)...
donc un facteur premier de a(n) est nécessairement supérieur à n
et comme il en a au moins 1 impair...
terminé

Posté par
MatheuxMatou
re : Arithmétique acrobatique 20-03-10 à 18:52

oui Mathémagic, pardon... merci de rectifier ! j'étais dans le problème, mais tu as raison, ma phrase issue du contexte est fausse

Posté par
Mathemagic
re : Arithmétique acrobatique 20-03-10 à 18:56

No souci
Dis si t'as le temps de regarder mon sujet, sorry pour le HS

Posté par
amatheur22
Arithmétique acrobatique 20-03-10 à 21:40

Bonsoir,

Merci  MatheuxMatou,ton raisonnement m'a convaincu.
Autre question si vous permettez
On suppose que ce nombre p=4k+3 avec k entier naturel
Montrer que an=(n!)²+1 divise (n!)^2(2k+1) +1 et que p divise (n!)^p +n!
et là je n'ai aucune idée,merci.



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