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Base hilbertienne de L²(0,p)...
Hello tout le monde,
J'ai un petit souci avec la démonstration du fait que le système est une base hilbertienne de L²(0, 2pi).
Plus exactement, j'ai un souci général avec la notion de densité, plus précisément avec la manière dont on peut étendre une propriété par densité... Ici, je tiens pour acquis le fait que si f est une fonction continue périodique, alors on a : . Mais la classique petite phrase "par densité de l'ensemble des fonctions continues à support compact dans L², on en déduit que la propriété est vraie pour toute fonction de L²" ne me paraît pas si triviale, d'autant que je ne suis vraiment pas hyper à l'aise avec la notion de densité...
Pourriez-vous m'aider à "finir" la démo, et à enfin piger à peu près comment on étend une propriété par densité ? 
Merci bien !
Bonjour donne toi epsilon>0, et h une fonction de L²
Alors il existe f de classe C infinie a support compact telle que |f-h|<epsilon, ou |.| est bien sur la norme L².
Maintenant il existe un polynome triogonometrique qui approche f a epsilon pres d'apres le resultat que tu admet (et qui est un avatar de stone weierstrass, ou on put le prouver directement a la Rudin, d'illeurs la preuve de Rudin me laisse perplexe...)
Donc il existe un polynome trigonométrique P tel que |f-P|<2epsilon...
on en deduit la densité des polynome trigo qui font donc de e_n un système total orthogonal...
Donc f=somme des (f|en) en
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