Peux tu nous communiquer l'énoncé exact de la propriété à prouver par récirrence ?

C'est exactement :

Citation :
Montrer par récurrence sur k que si _i=1,..,pB(x_i,1/2) recouvre la boule unité fermée alors celle-ci est incluse dans Vect{x₁, ..., x_p}+B(0,1/2^k). En déduire qu'elle est contenue dans Vect{x1,...;xp], puis que dim Ep

On désigne par F le sous-vectoriel de E engendré par les x_j

1.Soit x dans Bf(0,1).On peut trouver j dans....tel que x soit dans Bo(x_j,1/2)
La relation x = x_j + (x-x_j) mon tre que xF + Bo(0,1/2)
2.Supposons que l'on ait prouvé que pour un certain entier k > 0 on a :
Bf(0,1) F + Bo(0,r) (où r = 1/2_k).On a alors :
Bo(0,1/2)=(1/2)Bo(0,1)(1/2)Bf(0,1)(1/2)(F + Bo(0,r))=F + Bo(0,r/2)
Soient alors x dans Bf(0,1)et j dans....tels que x soit dans Bo(x_j,1/2) = xj + Bo(0,1/2).
On a : xxj+F + Bo(0,r/2)F + Bo(0,r/2)

C'est la preuve que l'on a :
[k*Bf(0,1)F + Bo(0,1/2^k]

Le reste + tard , jai faim

Merci beaucoup et bon appetit!!

  La suite donc

.Bo(0,1) F:
  Soit x Bo(0,1).Pour tout entier k > 0 on peut trouver y_kF et z_k Bo(0,1/2^k) tels que x = y_k + z_k
La suite k y_k converge donc vers x .
Mais F étant de dimension finie est complet donc fermé et donc x F
.F = E
Soit x E \ {0}. y = (1/N(x)).x est donc dans F puisque dans Bo(0,1) et F étant un vectoriel x = N(x).y F . De là EF donc E = F

Merci encore!