Bonjour voipi,

On va travailler avec l'intérieur, pour l'adhérence le principe est le même. Je te fais ça sous forme de ptit exo facile car détaillé :

Soit y dans l'intérieur de la boule fermée Bf(x,R).

a) par quoi peux-tu majorer (largement) ||y-x|| ?

b) par l'absurde, prouve que cette majoration est stricte.

c) tu peux donc conclure que y est dans B(x,R). Quelle inclusion cela te donne donc ?

Réciproquement :

d) l'intérieur de Bf(x,R) est-il un ouvert dans Bf(x,R) ? Si oui, que sais-tu de lui par rapport à n'importe-quel autre ouvert de Bf(x,R) ?

e) avec d), tu peux facilement conclure quant à l'autre inclusion.


Voili voilou !

Je rappelle au passage que seule la deuxième inclusion aurait fonctionné, dans un espace métrique.

Pour préciser ma dernière phrase : "seule la deuxième inclusion aurait fonctionné si on avait travaillé plus généralement dans n'importe-quel espace métrique". Au passage, il est instructif de voir pourquoi : avoir un contre-exemple [donc trouver une métrique non issue d'une norme qui fait rater la première inclusion...]

Bonjour,

Il est également possible pour la première partie de ton exercice de travailler avec des suites en utilisant
               si y appartient à l'adherence de la boule ouverte, il existe une suite d'éléments yn de cette boule ouverte qui converge vers y.
               si on note BF(x,a) la boule fermée de rayon a,on a

        ||x-y||<= ||x-yn||+||yn-y|| <= a   ce qui prouve que l'adhérence de la boule ouverte est contenu dans la boule fermé.

Pour la réciproque on prend "y" dans la boule fermé et on construit une suite d'élément de la boule ouverte qui converge vers y ce qui prouvera que ce dernier est dans l'adhérence de la boule ouverte.

Cette construction nécessite que l on soit dans un espace vectoriel, en effet, "le truc" qui fait que ça fonctionne dans ce cas, c'est que si x est dans E,  ax est aussi dans E, avec a un scalaire..

Merci beaucoup à tous les deux!
Remullen2000 je ne peux pas vraiment utiliser ta solution car je viens simplement d'aborder ce point dans mon cours on a à peine commencer les limites en topologie. Je pense donc que la méthode de Drasseb sera celle que j'aurai le moins de difficultés à aborder ! En tout cas quand j'aurai abordé ce point en cours j'essaierai avec ta méthode et je te recontacterai ici si j'ai un petit souci et si tu veux bien !

Merci Drasseb je vais regarder les différents petits points les uns après les autres je vais résoudre ça et je te recontacterai ici si j'ai un problème et si tu veux bien .

Merci encore

Pour voipi : de rien, tout le plaisir est pour moi, je passais par là et j'ai vu qu'on ne t'avais pas encore répondu.

Pour remullen 2000 : je ne suis pas d'accord avec toi pour plusieurs raisons :

a/ rien ne garantit la majoration par a dans ta manip d'inégalité triangulaire, c'est-à-dire que je ne vois pas ce qui te permet d'affirmer l'existence d'une telle suite, à mon avis c'est faux, et même si c'est juste cela n'a aucune utilité car cette implication est immédiate par définition de l'adhérence [le plus petit fermé contenant l'ensemble de départ !! Objet du d) et e) de mon petit problème posé à voipi].

b/ pour la réciproque, dans un espace métrique non normé, on ne peut pas construire la suite que veux faire converger vers y : prends par exemple la distance chaotique, d définie par d(x,y)=0 si x=y, d(x,y)=1 sinon, et fais l'exo demandé avec la boule ouverte B(x,1), du constateras que espace vectoriel ou non, la boule fermée Bf(x,1) (tout l'espace) n'est pas incluse dans l'adhérence de la boule ouverte (singleton x).

Donc le souci n'est pas d'être vectoriel, ça joue en amont pour tout ce qu'on peut faire en topologie : il s'agit bien d'être normé, ou non.

Cordialement,

Drasseb

Bonjour à toi aussi!

a) x appartient a l'adherence de B si et seulement si x est limite d'une suite de point de B...

b)En disant que le fait d'être vectoriel etait important, c 'était pensant à la démonstration qui nécessite de construire une suite d'éléments de B...Je concède que la norme est importante!

Cependant je ne pense pas que a) soit Faux, et si c est juste, une démonstration n'est jamais "inutile"

Bonsoir remullen2000 !

Désolé au fait d'avoir été un peu abrupt dans ma façon de m'exprimer : je trouve que ton initiative de donner une version séquentielle de la preuve était une bonne idée, on a toujours besoin de savoir prouver les choses de plusieurs façons, ça sert souvent je le pense aussi de mon côté !

Ceci dit je ne suis toujours pas d'accord avec toi pour le a). Je pense vraiment que ta suite n'existe pas, il suffit d'un dessin pour te convaincre que ta somme de normes est plus grande que a et ce quel que soit n. Sinon je suis d'accord avec ta définition de l'adhérence séquentielle, mais tu affirmes plus que ça dans ton raisonnement.

C'est vraiment pas pour le plaisir de te contredire je t'assure, c'est juste pour éviter d'embrouiller les gens qui en tapant "adhérence d'une boule ouverte = boule fermée" dans google tomberont sur ce fil dans les 15 prochaines années, lol...

Bon que j'essaye de comprendre!

Alors je retente

I]      Je veux montrer que si "y" appartient à l'adhérence de la boule ouverte, "y" appartient à la boule fermé.(je fait une demonstrastion par "double inclusion")

  II]    Donc, soit y appartenant à l'adherence  de la boule (de centre x de rayon a) ouverte, par caracterisation sequentielle, "y" est limite d une suite (notons-là yn) de point de cette boule.

III] ||x-y||<=||x-yn||+||y-yn||  mais  ||x-yn||< a par definition des yn (ils sont dans B(x,a) ouverte)
                                  ||y-yn|| est arbitrairement petit quand n est grand...

  IV]   donc ||x-y||<= a + truc aussi petit qu on veut.
   V]     donc ||x-y||<= a

Il est possible cependant que je soit dans l'erreur et si c est le cas j'aimerai comprendre, donc dit moi précisement laquelle de ces phrases est fausse?(j ai numéroté pour facilité)

Aaaaah ok !!!

En fait, ce que tu disais dans ton premier post, c'était non pas :

||x-y||<= ||x-yn||+||yn-y|| <= a [ce qui est faux pour tout n naturel]

Mais : ||x-y||<= lim(n-> +) ||x-yn||+ lim(n-> +) ||yn-y|| <= a puisque yn -> y et les yn sont tous dans la boule ouverte par déf [ce qui est archi vrai, comme tu l'as détaillé dans ton dernier post]

Donc, on est d'accord, et on a la version séquentielle de l'inclusion souhaitée. Désolé de t'avoir pris trop à la lettre et de n'avoir pas su dire directement que c'était le "lim" qui me manquait.

Bonne soirée !

Cordialement,

Drasseb

Je n'ai pas encore regardé en détail ce que je dois faire pour montrer tout ça je le ferai demain je pense (je te montrerai mon raisonnement ici pour connaitre ton avis) mais une petite chose me chiffone ... Pouquoi seule la deuxieme inclusion est vrai en espace métrique(j'ai un contre exemple je sais que c'est le cas) mais en fait je ne visualise pas du tout pourquoi c'est le fait d'être en espace vectoriel normé qui fait tout marché ?

Merci d'avance de ton aide .

Bonjour,

l'exemple que tu dois avoir est certainement celui que j'ai donné à remullen2000, c'est le plus classique.

Ben pour visualiser, franchement c'est dur, il faut juste garder à l'idée que dans un evn on a droit à à la distance usuelle d(x,y)=||y-x|| qui permet de valider l'intuition qu'on a naturellement quand on fait des dessins [par exemple : l'adhérence de B(x,y) est Bf(x,y)], alors que dans les espaces métriques non normables on travaille parfois avec des distances horribles qui font tout capoter [sur le dessin, la distance entre deux points n'est pas celle que l'on voit de nos yeux vue -> d'où échec des résultats intuitifs].

ha oui d'accord j'ai saisis la différence, il ne me reste plus qu'à faire la démonstration!! Je n'aurai pas le temps de la faire aujourd'hui comme je l'avais dis parce que j'ai trop de boulot mais je vais m'atteler à ca en début de semaine et je reviendrai poster ça sur ce post pour que tu me donnes ton avis si tu es d'accord.

Merci beaucoup encore .

Bonjour, voilà j'ai réussi à faire pas mal de choses mais j'aurai encore besoin d'un petit coup de main

b) par l'absurde, prouve que cette majoration est stricte.
je montre que c'est strict en supposant que c'est égal et en arrivant à une contradiction car si j'ai ||y-x||=R alors "y serait sur le bord de la boule fermée et pas dans l'intérieur" mais c'est là qu'est mon problème comment formaliser cette phrase qui ne me parait pas très mathématique??

J'ai le même genre de souci mais pour l'adhérence l'inclusion ne pose aucun problème dans un sens avec l'argument que l'adhérence est le plus petit fermé de B(x,R) etc ...
mais si je prends y dans Bf(x,R) comment montrer que y est dans l'adhérence de la boule ouverte B(x,R)??

J'ai encore besoin de juste un peu d'aide pour ces 2 points ... Merci d'avance de ton aide.

J'ai toujours mon souci je ne sais pas peut-être que tu n'es pas là en semaine ... Mais en tout cas j'ai encore besoin d'aide parce que je potasse ces deux points depuis une semaine et rien n'en sort .... si tu pouvais m'aider s'il te plait ?

Merci d'avance de ton aide.

Est-ce que tu peux m'aider encore un peu s'il te plaît ?

Merci d'avance parce que j'en ai bien besoin.

Soient K = R ou C et E un K-ev normé par N . On posera, pour tout x de E et tout réel strictement positif t,
Bo(x,t) = {x ; N(x-a) < t } , C(x,t)= {x ; N(x-a) = t } et Bf(x,t) = {x ; N(x-a) < ou = t }.  

Soient a un élément de E et r un réel strictement positif.


1.L'intérieur de Bf(a,r) est Bo(a,r)
preuve :Soit U l'intérieur de Bf(a,r)
  11.Bo(x,r) étant un ouvert de E contenu dans Bf(a,r) est contenu dans U.
  12.On va montrer qu'aucun point de C(a,r) n'est intérieur à Bf(a,r)
    (ce qui prouvera que l'intérieur de Bf(a,r) est Bo(a,r))
        Soit donc x un point de C(a,r) et montrons qu'aucune boule ouverte non vide centrée en x
              n'est contenue dans Bf(a,r) (donc rencontre son complémentaire).
        Soit s un réel strictement positif. A l'aide d'un petit dessin on arrive à ce qui suit:
            Prenons t dans l'intervalle ]1 , 1 + s/r[ et posons y = a + t(x-a) = (1-t)a + tx
            On a : N(y-a) = t.N(x-a) = t.r donc y n'est pas dans Bf(a,r)
                  et N(y-x) = (t-1).N(x-a) = (t-1).r < s donc y est dans Bo(x,s)
    

2.l'adhérence de Bo(a,r) est Bf(a,r)
preuve: Soit Fl'adhérence de Bo(a,r).
  21.Bf(a,r) est un fermé contenant Bo(a,r) donc contient F.
  22.On va montrer que tout point de C(a,r) est dans F
            (ce qui prouvera que Bf(a,r) est contenu dans F donc lui est égal)
      Soit donc x un point de C(a,r)et soit s un réel strictement positif .
            Si r < s , Bo(x,s)contient a (donc rencontre Bo(a,r)
            Si s est au plus égal à r soient t dans ]1-s/r , 1[ et  y = a + t(x-a) = (1-t)a + tx
             On a :  N(y-a) = t.N(x-a) = t.r donc y est dans Bo(a,r)et
                     (x-a) =(1-t)r < s  donc y est dans Bo(x,s)  
     dans tous lescas Bo(x,s) rencontre Bo(a,r) donc x est dans F.

  

Ouais merci beaucoup ça c'est vraiment super !! je vais regarder tout ça et d'après ce que j'ai lu c'est tout à fait ce que je voulais montrer. Normalement tout est clair, vraiment merci beaucoup !!! Je dois encore formaliser pour l'histoire du petit dessin que je ne vois pas très bien mais je regarde ça ce soir et je te redis si j'ai un petit souci !!

Vraiment merci énormément!