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Bon bon bon
Reprenons...On sait que f est un homeomorphisme et un diffeomorphisme local...c'est un diffeomorphsime global (i.e) de U tout entier dans V tout entier
Comment on le montre ?
Je suis d'accord que f est un homéo de classe C^1. Si on part de Df(x) isomorphisme, alors c'est un difféo local.
Jusque la OK.
Pourquoi est un difféo global ?
Bon, Rodrigo étant partit... je réexplique mon souci !
On a un homéomorphisme f de classe C1 qui va de U dans V.
On suppose que Df(x) est inversible.
On peut y appliquer le thm. d'inversion local, cette application est un difféo de Ux sur Vf(x).
On a donc prouver :
Df(x) inversible 
f difféo de Ux sur Vf(x).
A priori, il fallait prouver la chose suivante :
Df(x) inversible f difféo de U sur V.
Ou est l'erreur?
Ben appelle h la reciproque de f, on sait deja que h est continue puisque f est un homeo, reste a prouver que h est differentiable, come f est un diffeo local, alors h est diffrentiable...
Donc f est un diffeo
Rodrigo, tu peux être plus précis ?
Ne vois-tu pas que je galère sur les espaces dans lequel je travail! C'est pourtant pas faute d'avoir préciser mes notations U / Ux et V / Vf(x).
Mais justement ces notations t'embrouillent plus qu'autre choses...
Je vois aps trop comment je peut etre plus precis que ca...
h est un fonction qui va de TOUT V dans Tout U, ok?
Maintenant prend v un point de V et u tel que f(u)=v, comme df(u) est inversible f est un diffeomorphsime d'un petit ouvert O contenant u sur O' contenant v...En particullier h est differntiable en v, ceci etant vrai pour v quelconque h est differntiable sur tout V, donc f est un homeomorphisme de TOUT U sur TOUT V, differentiable de reciproque differentiable, c'est un difféo de U sur V
Bon je pense avoir mieux compris!
Je vais le re rédiger, dis moi si c'est ok.
On a un homéomorphisme de classe C1 de U sur V. On suppose que, quelque soit x dans U, Df(x) est inversible.
On a donc un difféomorphisme local (car de classe C1 + Df(x) inversible). On peut alors appliquer le T.I.L :
... f est un difféomorphisme de Ux sur Vf(x). Donc l'application réciproque est différentiable sur Vf(x) (et va dans Ux). Maintenant, ceci étant vrai quelque soit x, cette même application est différentiable sur tout V (et va dans tout U).
f est bien un difféo de U dans V.
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