Bonjour, ttjeanmichel

E doit être un espace vectoriel sur R ou C  (donc un evn, en fait).

merci.

Bonjour,

est-ce vraiment une condition nécessaire?

On sait effectivement que sur un evn de dimension fini (réel ou complexe), les compacts sont exactement les fermés bornés.

Maintenant, si on prend un espace où les espaces compacts sont exactement les fermés bornés, est-ce forcément un evn de dimension fini?

Bonjour Jord

L'énoncé initial commence par si E est un espace de dim finie... Si on part d'un espace vectoriel normé, il y a équivalence entre dim finie et la caractérisation des compacts (théorème de Riesz).

Mais si on démarre juste avec un espace métrique, bien sur ce n'est pas nécessaire que ce soit un espace vectoriel. Rien qu'en prenant [a,b]...

Bonjour

Je vais donc préciser ma réponse qui était en effet très elliptique:

Si E est un K-espace vectoriel normé de dimension finie, avec K=R ou C,alors, une partie A de E est une partie compacte si et seulement si elle est fermée bornée.

Dans le cas où K est un corps valué complet, il me semble avoir lu que K n'était pas obligatoirement localement compact. Mais je n'ai aucune compétence sur ces questions.

bonjour ,
et si E est seulement un espace topologique?

Ca marche pas a priori.

Les espaces dont les compacts sont exactement les fermés bornés sont appelés espace de Montel (orthographe approximative).

Salut Ayoub