Bonjour,

il me semble que c'est une conséquence du théorème de Tychonoff .

Merci Romu, je ne savais pas que le théorème était valable dans le d'un produit non dénombrable.

Tu sais comment on fait pour montrer que dans ce compact si x_n est une suite de ce compact, alors x_n n'admet pas obligatoirement une valeur d'adhérence.

Merci bcp

Dans un espace compact, toute suite de points admet une valeur d'adhérence.

Ba justement à ce niveau là, en cours tout à l'heure, on nous a dit que s'était vrai uniquement dans le cas d'un espace métrique. Autrement dit, que si E est compact, mais qu'il n'y a pas de distance sur E, alors x_n peut etre une suite de E sans valeur d'adhérence. Donc je ne comprend plus :s

Tu es sûr de ne pas confondre "valeur d'adhérence" et "point d'accumulation" ?

Je ne pense pas, car dans un espace métrique, on a un théorème qui dit que ces 3 propositions sont équivalentes:
(i) E est comact
(ii) toute suite de E admet au moins une valeur d'adhérence
(iii) toute suite de E admet une sous suite convergente.

Or dans le cas non métrique, il semble que (i) n'implique pas (ii), ni (iii).

Et normalement dans le compact [0,1]^[0,1] une suite n'admet pas forcément de valeur d'adhérence.
Ca parait un "peu normal" remarque vu que infini non denombrable puissance infini non dénombrable est vraiment très grand (lol terme très mathématique ). Donc la suite qui est dénombrable n'est pas obliger de ce cantonner aux voisinages d'un ou plusieurs points.

Maintenant, ca c'est juste un présentiment mais parait-il qu'il y aurai une preuve :s

(i) => (ii) est toujours vrai, même dans le cadre non métrique.

Mais il me semble que la métrique est nécessaire pour montrer que (ii) => (iii) et (iii) => (i)

On doit avoir les memes démo, car moi aussi, je n'utilise pas la notion de distance seulement dans (i)->(ii). J'ai mal compris alors. De toute facon, je ne vois mm pas quelle forme ca a une suite de [0,1]^[0,1] :s, donc pour trouver un contre exemple

Merci Romu

C'est une suite de fonctions définies sur [0,1] et à valeurs dans [0,1].

A bon ;s

On m'aurai dit de donner une suite de [0,1]^2 par exemple, j'aurai plutot donné x1=(x1.1,x1.2), x2=(x2.1,x2.2)...... J'aurai fait de mm pour [0,1]puissance[0,1] mais le fait que ca ne soit pas dénombrable me posait un problème.

Si on a deux ensembles , on définit leur produit



on généralise pour le produit d'une famille finie d'ensembles:



On généralise encore pour le produit quelconque d'ensembles:



et l'objet , est la même chose que la fonction .

Dans notre cas, on a et quelque soit .

Merci bcp Romu