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compact dans un evn en dimension infinie
Bonsoir.
Nous sommes dans un 
-espace vectoriel normé (E,||.||) de dimension infinie, et nous avons un compact K (qui est donc fermé, borné, et de dimension finie). Nous avons montré que pour tout x
E\K, il existe r>0 tel que K soit inclus dans la boule ouverte de centre x et de rayon r.
Je dois maintenant montrer que l'application f:K
{yE tels que ||y-x||=r} (donc la sphère de centre x et de rayon r dont on a montré l'existence précédemment) définie par
m
x+r.(m-x)/||m-x||
n'est pas surjective.
Pour cela, je voulais procéder par l'absurde et montrer que si c'était le cas, on aurait une application surjective d'un espace de dimension finie dans un espace de dimension infinie, ce qui est impossible. Mon problème (qui est certainement très simple... En tout cas, il y parait), est de montrer que la sphère est elle aussi de dimension infinie. Je pensais pouvoir montrer que cette sphère était de codimension 1, mais je n'y arrive pas...
Merci
Bonsoir,
penses-tu vraiment, vu qu'on te donne la tête de l'application, qu'il va falloir raisonner sans y toucher? 
Ah... Oui, c'est vrai que vu comme ça
Bon... Touchons-y.
f surjective
pout tout n dans la sphère, il existe m dans K tel que f(m)=n.
...
Mais il faut bien utiliser cette histoire de dimension, non?
Je ne vois pas trop quoi utiliser... Je vois qu'elle est continue, c'est tout... Elle n'a pas l'air linéaire, pour tout m, ||f(m)|| inférieur à ||x||+r. A part ça, je ne sais pas trop quoi dire.
Oui, mais si je pose la question sur un forum, c'est que j'ai un peu regardé la question, et que je n'ai abouti à rien. Je n'ai pas de bons réflexes, je le sais.
Même si ça te paraît évident, peux-tu essayer de me guider un peu plus, s'il te plaît?
Salut 
Au risque de dire une ânnerie:
et nous avons un compact K (qui est donc fermé, borné, et de dimension finie)
Fermé: Ok.
Borné: Si on était en dimension finie ok, mais pas là justement.
Dimension finie: Là je comprends pas... K
Je ne comprends pas Ayoub, qu'on soit en dimension finie ou non, pourvu qu'on soit dans un espace métrique, un compact est toujours fermé borné !
C'est la réciproque qui n'est pas vraie en dimension infinie!
Salut Schumi.
J'ai quelques théorèmes dans mon cours qui m'ont fait dire ça:
"Soit E un espace métrique compact non vide, alors le diamètre de E est fini". il me semble que c'est sans restriction de dimension. Notre espace étant normé, il est métrique pour la distance associée à la norme.
J'ai crû comprendre qu'un fermé borné n'est pas forcément compact en dimension infinie, mais qu'un compact était forcément fermé borné.
Ensuite, on a le théorème de Riesz qui dit que "Tout espace normé localement compact est de dimension finie".
Or, un espace compact est bien localement compact, non?
J'espère avoir au moins compris le cours, sinon, je suis un peu mal...
Effectivement... 
Bon, je pense que je vais arrêter là, j'ai largement dépassé mon quotas d'ânneries de la journée.
Je cherche toujours. J'ai pensé à cette méthode tout simplement parce que pour répondre à cette question, ils conseillent d'utiliser le théorème de Riesz.
Je pensais qu'il fallait utiliser la tête de la fonction, comme tu dis, seulement pour la question suivante. Mais puisque tu paraissais avoir un autre raisonnement, pourrais-tu m'en donner une idée, Nightmare?
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