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complétude d'espaces e fonctions continues
Bonjour, je me remets difficilement à l'analyse après une période d'abstinence et une question me taraude. Dans le théorème suivant:
Soit un espace topologique compact X et un espace métrique complet Y. Alors l'ensemble des fonctions continues de X dans Y est complet pour la norme de la convergence uniforme.
en quoi l'hypothèse de compacité de X intervient?
salut
si tu as une demo avec toi,reprends la avec X simplement complet.tu auras peut etre quellequechose
Merci de m'avoir répondu mais je ne suis pas plus éclairé. En fait, j'ai sous la main une démonstration du théorème qui ne fait pas appel à l'hypothèse de compacité sur X.
La démonstration se trouve à la page 5 sur
http://mathchalabi.ifrance.com/licence-cours/topologie%20de%20le%20convergence%20simple%20et%20de%20la%20convergence%20iniforme.pdf,
et je n'y vois pas l'hypothèse que X soit borné non plus. Si tu as 2 minutes pour regarder... La démo semble fonctionner dans le cas général.
Si si, en haut de la page 5:
Soit (X,O) un espace topologique. Si (Y,d) est un espace métrique complet alors il en de même de B(X,Y). Si de plus X est muni d'une topologie le rendant compact, alors C(X,Y) est complet.
Ici, C(X,Y) et B(X,Y) sont respectivement les espaces de fonctions continues et de fonctions continues bornées de X vers Y.
regarde bien tu remarqueras que pour la completudude de c(XY) on est parvenu à bornée uniforment n'inportequelle suite grace à la compactité de X
J'ai compris mon erreur: la norme est une application à valeurs dans et non pas dans
donc pour que la norme de la convergence uniforme soit bien une norme sur C(X,Y), il faut nécessairement que les fonctions soient à valeurs bornées, ce qu'on obtient par l'hypothèse de compacité sur X.
Merci pour ton aide Milton.
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