bonsoir

X n'est pas connexe lorsque on peut trouver deux ouverts disjoints dont la réunion recouvre X...

en gros, pour les cas "visuels", cela signifie que X est en deux morceaux ...

cela ne présume en rien du caractère ouvert ou fermé de X...

par exemple sur R : ]0;1]U[3;5[ n'est pas connexe (il suffit de prendre comme ouverts le recouvrant ]-1;1,5[ et ]2,5;6[

et X n'est ni ouvert ni fermé !

MM

Hum,
par exemple je veux montrer que X est connexe.

Je raisonne par l'absurde, je suppose donc que X n'est pas connexe.
J'écris donc X comme la réunion de deux ouverts disjoints non vide :
X=V U W
V et W ouvert donc X ouvert.

C'est quoi qui cloche ?

Salut.

Il est important de savoir par rapport à quelle topologie une partie est ouverte.

Un espace topologique est toujours fermé (et ouvert) pour sa topologie.

Si tu regardes une partie A d'un espace topologique X, A n'est pas forcément ouverte ou fermée pour la topologie de X, mais A est toujours fermée (et ouverte) pour la topologie induite sur A par celle de X.

ta définition de la connexité est fausse !

ce n'est pas X= V U W si V et W sont des ouverts pour la topologie générale dans laquelle on se place

mais X V U W

cela change tout !

Mais VX et WX sont des ouverts pour la topologie induite sur X... dans laquelle X est à la fois ouvert et fermé, comme le signale très justement Arkhnor.

MM

Définition de mon cours de license :
Soit X un espace topologique . X est connexe s'il n'est pas la réunion de deux ouverts non vides disjoints.

Deux définitions prisent sur le net :
.E est dit connexe s'il n'existe pas de partition non triviale de E en deux ouverts.
.Un espace topologique E est dit connexe s'il ne peut pas s'écrire comme la réunion de deux ouverts disjoints non vides.

Dans la deuxième définition on parle bien de partition et non de recouvrement.

De plus, dans différents exercices, mon enseignant à commencé comme je l'ai fait précédemment :
Supposons X pas connexe, on écrit alors X=V U W où V et U deux ouverts disjoints.

Du coup je suis encore plus perdu...

Ta définition est correcte, mais il faut bien voir dans quelle topologie on travaille.

Si X est une partie d'un espace topologique plus grand, on utilise les ouverts de la topologie induite de X, mais il est parfois plus simple de regarder des recouvrements par des ouverts de l'espace entier. (ce qui est justifié par la définition de la topologie induite)

Dans ta question "Ma question est donc de savoir si tout ensemble NON connexe est à la fois ouvert et fermé ?" de quels ouverts parles-tu ? Si ton ensemble X est une partie d'un espace topologique, comme je l'ai dit dans mon précédent message, il n'est pas forcément fermé pour la topologie de l'espace ambiant, mais il l'est forcément pour la topologie induite sur X, par définition.

Dans ta démo, tu utilises que U et V sont des ouverts de X, et tu montres donc que X est ouvert pour sa topologie, ce qui est une trivialité. Après, il n'y a aucune raison pour que ce soit un ouvert de l'espace ambiant.

(bonjour vous)

Eh oui Arkhnor, je crois que toute l'incompréhension de notre ami vient de là... dans quel espace se place-t-on... quand on dit "ouvert", il faut préciser "de quoi" ...

bon, je vais essayer de clarifier cela pour notre ami :

Définition 1 :

E un espace topologique et X une partie de E

X non connexe il existe deux ouverts V et W de E tels que VW= et XVW

(cela est utilisé dans mon post du 27 à 19:15)

Définition 2 (évidemment équivalente)

X non connexe il existe deux ouverts V et W de X tels que VW= et X=VW

lien entre les définitions 1 et 2

dans la définition 2, on parle de la topologie induite sur X : les ouverts de X sont l'intersection de X avec un ouvert de E.
Dans l'exemple que je donnais hier à 19:15, ]0;1] et [3;5[ sont bien des ouverts de X (mais pas des ouverts de ) car ils sont intersection de X avec un ouvert de .

Concernant ta première remarque : "peut-on dire que X est alors à la fois ouvert et fermé ?"

Si on considère les termes "ouvert" et "fermé" dans l'espace E, la réponse est NON (voir l'exemple de 19:15)

Si on considère les termes "ouvert" et "fermé" dans l'espace X, la réponse est OUI (quel que soit X, connexe ou pas !) car un espace topologique est toujours à la fois ouvert et fermé dans sa propre topologie.

voilà, je crois qu'on a fait le tour.

Alain

Je vais méditer tout sa Merci pour vos réponses.

Par contre je n'aime pas la définition de MatheuxMatou :

"Définition 1 :

E un espace topologique et X une partie de E

X non connexe  il existe deux ouverts V et W de E tels que (V inter W)=vide et X=V U W"

Je pense qu'il faut rajouter que l'intersection de X avec V et W est non vide.

il n'y a pas à aimer ou pas ! et ce n'est pas "MA définition" !!!!

Elle est plus simple à comprendre car elle visualise bien que X est en plusieurs parties (enfin pour les cas simples)

Pour passer à la deuxième il suffit de considérer que les XV et XW de la première définition fournissent les V et W de la deuxième (intersection d'un ouvert de E avec X... donc ouvert de l'espace induite sur X)

cordialement

MM

et NON, il n'y a pas à rajouter que l'intersection de X avec V et W est non vide !

pardon Swiftly... tu as raison, il faut ajouter quelque chose à ma définition 1 (c'est si loin tout ça !)... il faut ajouter que X n'est pas inclus dans V ni dans W...

excuse

mais dans la définition 1, c'est "X inclus dans V U W"  et pas "=" comme tu l'as écrit à 10:02

Ok

Quand on est enseignant ce ne doit pas être trés facile à bien faire comprendre cette notion, surtout qu'elle est dificile à séparer  ( visuellement ) de la connexité par arcs. D'ailleurs le contre exemple classique n'est pas facile je trouve.

Oui, c'est vrai. On a surtout tendance à se représenter des ensembles ouverts de R^n, or dans ces ensembles, la connexité et la connexité par arcs, c'est la même chose.

oui !
disons que la connexité dans R^n permet d'appréhender la notion... ensuite seulement on s'attaque aux cas "pathologiques"
Je présume que ton exemple "classique" de connexité non connexe par arc est la réunion de la courbe de sin(1/x) pour x non nul avec le segment [-1;1] de l'axe des ordonnées ?

MM

Il me semble aussi que j'avais vu un théorème du genre :

X est connexe ssi toute fonction continue de X dans {0;1} est constante.

A contrario, cela signifie que X n'est pas connexe ssi on peut trouver une fonction continue sur X et surjective dans {0;1}... cela traduite une fois de plus le "morcelage" de X permettant à notre fonction de "sauter" de 0 à 1 tout en restant continue... sur X bien sûr.

MM

Bonjour,
La bonne définition de la connexité c'est X espace topologique est dit connexe ssi X=UuV ou U et V sont deux ouverts (ou deux fermés) disjoints. Ensuite on peut effectivement parler de connexité pour un sous espace topologique, alors c'est tout simplement connexe pour la topologie induite. Il est assez mal venue de voir des espaces topologiques comme "plongés", bien que la définition de MatheuxMatou soit correcte pour une partie d'un espace topologique, il est plus judicieux de se contenter de la vision intrinsèque d'espace topologique. C'est vrai pour toute définition, discret, compact...

Ensuite, la propriété enoncée X connexe ssi tout application continue de X dans {0,1} (muni de la topologie discrète bien sur!!) est constante. La preuve est triviale.

Enfin pour le contre exemple classique de partie connexe non connexe par arcs je préfère la spirale pointée. Tu prends une spirale dans R² plus le centre de la spirale. Elle n'est pas connexe par arc parce que tu ne peux pas aller en temps fini (et c'est bien le fait que le temps soit etre FINI qui pose problème) de la spirale au centre. par contre elles est bien connexe parce que si tu as une application de la spirale (sans le centre) dans {0,1} tu peux la "prolonger par continuité". C'est la toute la différence entre "prolongement par continuité" et temps fini qui faot la différence entre connexité, et connexité par arcs.

Tu as raison Rodrigo... après la "vision" qu'on se fait des chose comporte une part de subjectivité... personnellement, je voyais mieux les idées de démonstration quand je travaillais "plongé" dans un espace topologique que je comprenais mieux... acr je voyais bien le rapport entre la connexité et le fait d'être en plusieurs morceaux (pour les cas "simples bien sûr)
ensuite, bien sûr on comprends la "vraie définition"... et une fois qu'on a compris, tout cela est complètement équivalent.

je crois même me souvenir que LA définition est celle que tu donnes... et que l'autre n'est qu'une propriété équivalente.

J'adorais la topologie... mais cela fait maintenant 25 ans que je n'en n'ai pas manipulé... faudrait que j'en refasse, c'était un vrai bonheur !

MM

Oui le contre exemple dont je parlais est la réunion de la courbe de sin(1/x) pour x non nul avec le segment [-1;1] de l'axe des ordonnées.

Par contre je n'avais jamais vu le contre exemple de Rodrigo.