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continuité d'une application définie E=C([0,1],R)
Bonsoir
E=C([0,1],R) muni le norme de la convergence uniforme qu'on notera N.
g une application continue de 
vers , et
: E 
E
f 
gof
Montrer que est continue.
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je me dis que pour le montrer, on dit que l'application Id(de E) est continue pour toute norme de E, en particulier pour pour la norme N.d'autre part, l'application cste définie sur E, qui a f associe g est aussi continue pour toute norme, en particulier pour la norme N.et comme f([0,1]) 
, alors l'application est bie définie, et de plus elle est continue.
Soit g 
E . g est uniformément continue . Pour tout t > 0 soit wg(t) = Sup|x-y|
t{|g(x) - g(y)|} . wg est le module de continuité uniforme de g .
Si tu n'en n'a pas entendu parler je te conseille de remarquer que wg est croissante sur +* et que g est UC SSI wg(t) 0 (quand t tend vers 0 ).
Son utilisation évite d'avoir recour à des démonstrations ''epsilonnesques'' ; mais si tu aimes celles-ci libre à toi .
Soit alors T : E E , f Tf := g o f .
Si f1 et f2 sont dans E tu as , pour tout x : |Tf1(x) - Tf2(x)| = ... wg(|f1(x) - f2(x)|) wg(N(f1 - f2)) .
Cela prouve que N(Tf1 - Tf2) wg(N(f1 - f2)) et donc que T est UC .
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