Etudier la continuité.
Désolé pour l'erreur.

Bonsoir,
Je suppose que R² est muni de sa métrique eucldienne... (ou de la topologie produit pour la distance de R ce qui revient au même)

Soit donc (a,b) et (x,y) dans R² et epsilon>0 on veut montrer |x+y-(a+b)|<epsilon, donc |(x-a)+(y-b)|<epsilon, si on prend (x,y) assez proche de (a,b). Ben prenons d((x,y),(a,b))<epsilon/2, soit |x-a|²+|y-b|²<epsilon²/4, donc |x-a|<epsilon/2 et |y-b|<epsilon/2, ca prouve le résultat.

Et pour l'existence de ?
Le professeur nous a demander de la determiner.

Merci beaucoup.

Ben ici eta vaut par exemple epsilon²/4

Je comprend pas pourquoi!
Pourquoi pas ?

Erreur de frappe.

Bonsoir,

Il faut d'abord que tu choisisses une distance sur ². Un certain théorème te dit qu'elles sont toutes équivalentes, mais il y en a tout de même de plus pratiques que d'autres.
Par exemple :
d1((x1,y1);(x2,y2)) = Max(|x2-x1|;|y2-y1|)
d2((x1,y1);(x2,y2)) = (|x2-x1|+|y2-y1|)
d3((x1,y1);(x2,y2)) = ((x2-x1)² + (y2-y1)²)

Tu étudies alors la continuité en un point (x,y) en prenant un point "assez proche" (x+h,y+k) et en mesurant l'impact sur l'image dans .

Par exemple, pour l'addition, avec la distance d1 :
d1((x,y);(x+h,y+k)) = Max(|h|,|k|)
et avec la distance d2 :
d2((x,y);(x+h,y+k)) = |h|+|k|
et pour l'image dans :
f(x,y) = x+y
f(x+h,y+k) = x+y+h+k
|f(x+h,y+k) - f(x,y)| = |h+k|
A partir de là, il n'est pas très difficile de vérifier le critère de continuité.
Si tu prends la distance d1 sur ², le critère s'écrit :
Max(|h|,|k|) < |h+k| <
Il suffit de prendre = /2
Si tu prends la distance d2, le résultat est encore plus simple :
|h|+|k| < |h+k| <
Il suffit de prendre =

Je te laisse faire une démonstration analogue pour le produit (un peu plus délicate tout de même...)

heu oui pardon bien sur epsilon/2

LeHibou-> Toutes les distances sur R² ne sont pas équivalentes...c sont les normes de R-ev qui le sont.

Mmmm... Dans un espace vectoriel métrique, norme et distance ne sont-ils pas des concepts équivalents  par les formule magiques:
Distance(a,b) = Norme(b-a)
Norme(a) = Distance (O,a)
(avec je te l'accorde un abus de notation qui assimile l'espace vectoriel avec l'espace affine associé d'origine (0,0)...)

Hélas non.
La métrique discrete sur un espace vectoriel E n'est induite par aucune norme...(par exemple car E n'est pas connexe pour la topologie engendré alors qu'il l'est pour une topologie normée.

Merci beaucoup.
Pour le produit, peut-être on va factoriser:
|xy-ab|=|xy-ya + ya-ab|=|y(x-a)+a(y-b)|
Mais, l'étape suivante?

OK Rodrigo, 1-0 pour toi

zakijam, en gardant les notations en h et k :
|(x+h)(y+k) - xy| = |kx+hy+hk| |k||x| + |h||y| + |h||k|
De toute évidence, ici, va dépendre non seulement de h et k, mais aussi de x et y...