Salut

Si l'on suppose qu'il est infini :

On considère une suite infinie d'éléments de k. Par compacité, on peut en extraire une suite qui converge vers un élément

Considérons la suite .

on peut encore en extraire une suite qui converge vers

Or, . Conclus.

Un corps topologique est aussi supposé séparé... je ne crois pas que se soit un corollaire de la définition... (de plus tout corps topologique est compact avec la topologie triviale).

Quel idiot! J'avais toujours pas compris que l'espace était séparé...

jolie preuve : qui suppose justement l'unicité de la limite !

C'était à peu près ce à quoi je pensais, mais comme un grand crétin, je me suis posé un problème qui précisemment n'existait pas: l'unicité de la limite...

Merci à vous deux.

On pourrait pas démontrer avec les recouvrements?

Bonsoir,

ici on suppose compact ou vérifie la propriété de Bolzano Weierstrass parce qu'on a pas l'implication si c'est pas métrisable.

"Si K est compact, alors de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement fini."

Soit une famille d'ouverts telle que
Alors il existe un J de I fini tel que : ... euh non pour conclure là bof

On suppose compact, pas a priori BW.

Oui donc en fait on a les 2.

Donc compact au sens de BL ? Faudrait préciser...

Oui donc en fait, ta démo ne tient pas. On a la compacité au sens BL. J'avais pas tilté parce que pour moi BL impliquait toujours BW...

Décidemment, c'est pas mon jour.

On en revient aux ouverts... Finalement, ça risque d'être moins triviale que prévu. Chouette!

Je demande ce qui nous dit qu'on a la capacité au sens de BL et non au sens de BW !

Prenons K un corps topologique compact. Il existe une (unique) mesure de Haar pour l'addition, notons là . (i.e. ).

Prenons a un élément non nul de K, et définissons :

C'est bien une mesure de proba, par unicité de Haar c'est . en particulier :
, i.e. la multiplication par un élément non nul préserve la mesure.

Par le théorème de récurrence de Poincaré, on peut trouver x_n qui tend vers 1 et a^{n_k} tels que converge vers 1. C'est-à-dire, que converge vers 1.

On le fait pour , supposons que


Posons , cette suite est absurde, mais je n'arrive pas à conclure...

En éspérant que ce soit une piste concluante.

tringlarido dit des trucs intéressants mais sans interêt. Dans un compact toute suite admet une valeure d'adhérence :
Par l'absurde, s'il n'y a aucun point d'adhérence, pour tout x on peut trouver un voisinage de x qui ne contient qu'un nombre fini de points de la suite. On obtient alors un recouvrement, dont on peut extraire un recouvrement fini. On obtient alors que la suite ne prend qu'un nombre fini de valeurs ! contradiction !

C'est justement la réciproque qui n'est vrai que dans le cadre métrisable. La démonstration proposée par Nightmare me convient.

Jord >> C'est un exercice de taupe donc faisable avec des connaissances de taupe. En prépa, la définition de la compacité c'est BL justement. On voit BW comme une équivalence dans le cas métrique.

tringlarido >> (Va falloir que je m'entraîne à le taper ton pseudo, ou à trouver un raccourci ) Non, je ne suis pas d'accord. Comme je l'ai dit à Jordan, c'est un exercice de taupe donc faisable avec des moyens de taupe. Et évidemment, je ne comprends strictement rien à ton avant dernier message...
"BL ==> BW" n'est pas vraie a priori dans le cas non métrique. Tu n'as fait que prouver que toute partie infinie possédait un point d'accumulation. On est d'accord, on a pas besoin de la structure métrique pour ça. Par contre, on a besoin de l'existence d'un système fondamental de voisinage pour en conclure que toute suite admettait une sous-suite convergeante, bref, du caractère métrique.
La démo de Jord règle définitivement (et rapidement comme d'hab) le cas métrique. C'est d'ailleurs ce que j'avais essayé de faire au début, sans succès. Mais certainement pas le cas général, sa démo ne me convient plus.
Pour te convaincre que BL==>BW peut être faux: Ensemble compact.

Je précise pour finir que cet exercice est tiré d'une liste d'exos pas forcément triviaux qui recouvre à peu près tous les domaines qu'on ne voit pas en prépa mais qu'on peut aborder avec des moyens de sup/spé. Ce sont généralement des théorèmes non connus de taupins ou de classiques stûûcieux. Visiblement, ici c'est la deuxième option.

Merci de vous pencher un peu sur cet exo, c'est sympa.

Et une preuve d'analyse non-standard réglerait le problème non?

Je sais même pas ce que c'est.

Moi non plus jusqu'à ce que mon chargé de TD se lance dans une grande explication à ce sujet

Moi non plus jusqu'à ce que mon chargé de TD se lance dans une grande explication à ce sujet >>>> Ou sa ????



sinon Schumi, au programe de spé officiellement, il n'y à que de la topologie métrique (uniquement les espace vectorielle normé en fait), la définition de la topologie c'est BW et BL n'est meme pas au programe :p

je réfléchis à ton problème...  mais à priori on doit pouvoir traduire la preuve de Nightmare en terme de filtre, puis en terme purement topologique (enfin à moins que tu sache déja ce qu'est un filtre dans ce cas la dernière étape peut-etre évité... mais pour le coup tu commencera vraiment à me surprendre :p )

petit errata : "la définition de la compacité c'est BW"

Où ça quoi Ksilver ?

Je me demandais à qu'elle endroit un TDman pouvait bien ce lancer dans une explication sur l'analyse non standart ^^... d'un autre coté la question pertinente était plutot "Qui ca ?"

Il s'est lancé dans une explication quand je lui ai demandé, pas naturellement

Ksilver >> C'était mon idée de départ: résoudre dans le cas métrique; éliminer les arguments purement métriques et retrouver une démo purement topologique. Les filtres tu dis? Ok, je vais essayer de voir ce que c'est. Merci d'y réfléchir.

Une preuve pas un argument de filtre :

Soit K un coprs infini compact, alors le filtre des cofinie est un filtre sur K (les complémentaire des parties finie), et il ce prolonge en un Ultrafiltre F, qui converge vers un point x de K par compacité.

étant donné que K-{x} est cofinie (donc dans F), {x} ne peut pas etre dans F.
les (F-x) inter k* forme donc un filtre sur k*, et donc les images de F par t->1/(t-x) forment un filtre sur k* il suffit d'y ajouter k tout entier pour obtenir un filtre sur k, qu'on appelle G, enfin on peut prolonger G en un ultrafiltre H sur k, qui va converger vers un point u de K.

montrons que tous ce la est contradictoire avec la séparation (dans la terminologie francais compact => séparé)

1) supposons u non nul, soit y=x+(1/u), soit V1 un voisinage de x et V2 un voisinage de y, avec V1 et V2 disjoint. V1' et V2' leurs images par t->1/(t-x). V1 est dans F car F converge vers x, donc V1' est dans G. V2' est dans G car  c'est un voisinage de u, et que G converge vers u.

2) supposons que u=0, on peut appliquer le meme raisonement , à condition de tolérer de parler de voisinage de l'infinie (ce sont les image par x->1/x des voisinages de 0) et de montrer que la séparation s'applique en prenant l'infinie et un autre point (ce qu'on peut faire en envoyant un deuxieme point à l'infinie par une homographie et on est ramené à la séparation classique...)


Bon je suis pas encore trés alaise avec les filtres (en fait... j'ai apris ce que c'était seulement hier, parceque mon prof de topo de l'ans dernier à préférer ne pas en parler ^^ ) donc il est probable que la preuve puisse etre simplifier et j'ai un peu de mal à transcrire en terme topologique (disons que ca me demandera pas mal de boulot... mais ca serait un bon exercice :p )...

mais rassure moi... c'est quand meme pas un exo de Pépin ca ??? (de mon temps il donnait quaisement jammais d'éxos qui nécessite d'utiliser BL... )

Non non, Pépin ne va quand même pas jusque là. Il déborde en cours et des fois en TD mais jamais sur les feuilles d'exo ou en dm. On fait que des evn en dehors des cours.

Je vais essayer de digérer ta démo alors, enfin, une fois que j'aurai compris les termes utilisés.

Bon oubli les Ultrafiltre, j'ai réussit à les enlever de la preuve !


en fait le raisonement c'est juste ca :

on suppose K compact, on introduit l'espace projectif P1(K) (algébriquement, c'est K*K-{(0,0)} quotienté par la relation de proportionalité, topologiquement, c'est K union un point à l'infinie, les voisinages du point à l'infini étant les inverses des voisinages de 0). toute les homographie (addition, multiplication, inversion) deviennent des homeomorphisme de P1(K)

le point important, est de montrer que P1(K) est séparé. la seul chose non imédiate, est qu'on peut trouver une voisinage de 0 et un voisinage de l'infini disjoint...
mais on vérifie cela facilement, en utilisant l'homographie x->1/(x+1) qui va envoyer 0 et l'infini sur 1 et 0 (continuement) et on a plus qu'à utiliser la séparation de 0 et de 1.


une fois cette étape faite, le raisonement est trés simple :

K est compact, donc fermé dans P1(K), le singleton {infini} est donc ouvert, et comme 1/x est un homéomorphisme, le singleton {0} est ouvert, ie la topologie est discrete et donc le corps est fini ! (compact + discret => fini...)

On peut traduire ca en terme de BL sans introduire P1(K), mais il faut quand meme prouver l'équivalent de la "séparation de P1(K)" avant, cad :

lemme : "il existe deux voisinage de 0 V et V' telle que V et 1/V' soit disjoint"
(1/V' désigne bien entendu les inverse des element non nul de V'...)

on prouve cela de la meme facon que dans le post précedant : en composant par 1/(1+x) et en utilisation la séparation entre 0 et 1... (je te laisse le rédiger ^^ )


une fois ce résultat montré on retrouve un raisonement tres simple :


pour tous x de K*, il existe un voisinage Vx de x et un voisinage V'x de 0 tel que Vx et V'x soit distinct. Soit aussi V et V' comme dans le lemme.

les 1/Vx recouvrent k*, donc V' et les 1/Vx recouvrent k, par compacité, on peut extraire un sous recouvrement fini : composé de V' et des 1/Vxi pour certain xi bien choisit.

on à alors 1/V' Union les Vxi = k* (ca recouvre k* et ca contiens pas 0...)

et donc comme V est disjoint de 1/V' et les V'xi disjoint des Vxi, l'intersection de V et des V'xi est réduit à {0} or c'est une intersection fini de voisinage de 0, donc un voisinage de 0.

la topologie est donc discrete, et le corps est fini !!!!

Un dernier (spécial pour Nightmare ... avec de l'analyse non standart quoi )


si 0 n'est pas isolé, il existe un element x non standard hyperproche de 0, celui ci est inversible, et par compacité son inverse est hyperproche d'un element a de k.

on a alors x*(1/x)=1 et x ~ 0 et 1/x ~a, donc par continuité du produit a*0=1... ce qui est impossible ^^

0 est donc isolé et le corps est fini !

bon maintenant, je suis pas du tous spécialiste d'ANS (je suis entrain d'apprendre... depuis environ 2h... ) donc j'ai de sérieux doute sur la validité de cette preuve ^^

Bien vu l'histoire de l'espace projectif! Je retiens l'idée, c'est vrai que ça aide pas mal dans ce contexte.

Je crois avoir compris, merci.