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densité de Q dans R
bonjour,
juste pour savoir q'il existait une méthode "originale" pour montrer que .
""originale"" j'entend par là que on n'utilise pas la propriété d'archimède, la convergence de suite ... mais en fait je voudrais voir si on peut résoudre cela par de la ""topologie"" qui mélange des notions " de topo pure (adhérence ...)
en clair je veux une autre méthode que la classique que l'on voit en sup.
je pensais à mq, pour x réel mais on voit que l'on se ramène : on peut trouver un rationnel entre deux réels qqconque ...
idées ?
merci
Bonjour
Tu auras du mal à éviter les propriétés les plus profondes de R. Ceci étant dit si tu admets l'existence du développement décimal (qui lui dépend peu ou prou d'Archimède) c'est une trivialité!
Allo,
(et bonjour camélia 
)
je pense à peu près la même chose, du fait que R est construit comme complété de Q, donc ca va finir par tourner en rond à un certain moment ...
Allo,
(et bonjour camélia )
je pense à peu près la même chose, du fait que R est construit comme complété de Q, donc ca va finir par tourner en rond à un certain moment ...
Non
! En fait il y a plus de 3 méthodes complètement différentes pour construire R (mon TIPE aux ENS héhé) dont deux n'utilisent pas du tout un complété.
Il y a une construction par les Coupure de Dedekind (je vous laisse googler) qui utilise plutôt l'idée de borne supérieure.
Pour démontrer la densité de Q dans R il faut nécessairement admettre certaines propriétés.
La propriété de la borne supérieure permet de trouver la densité de Q grâce à la caractérisation des sous-groupes de R (inf Q+ = 0) et le caractère archimédien (hérité de Q).
La complétude permet d'utiliser les méthodes par les suites, par exemple pour tout réel x la suite (E(nx)/n) converge vers x (en démontrant la propriété des gendarmes).
Mais c'est vrai, sans construction explicite tout cela est très circulaire.
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