Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Déterminer les extrama d'une fonctions de deux variables
Bonjour tout le monde (j'espère ne pas m'être trompé de forum),
Dans un exercice, je dois déterminer les extrema de la fonction .
Et j'ai quelques problèmes pour conclure ...
f /x =
f /y =
J'obtiens donc comme points critiques : (1, 1) et (0, 0).
1. Méthode avec les hessiennes
f /
=
f /
=
f /
x y =
D'où : Hf(x, y) =(6x -3)
(-3 6y)
J'ai alors :
D'où : Hf(0, 0) =(0 -3)
(-3 0) qui a pour déterminants principaux 0 et -9
- C'est une matrice ... définie négative ?
Mais aussi Hf(1, 1) =(1 -3)
(-3 1) qui a pour déterminants principaux 1 et -8.
- Là je bloque, pour moi on ne peux pas conclure. Car je crois que pour qu'une matrice soit définie positive il faut que ses déterminants principaux soit tous supérieurs à 0, ou pour qu'elle soit définie négative il faut que le signe des déterminants principaux alterne, le premier étant négatif.
2. Une méthode présentée en cours, qui ressemble à celle utilisée avec un Lagrangien
après développement, d'où
car
- Et bien que Je ne sais pas comment conclure pour le signe de
Et idem pour d'où
- Et la je ne sais pas du tout comment faire
Bien sûr je n'ai pas écris tout mes calculs, mai l'essentiel des étapes est là.
Les problèmes rencontrés sont signalés par des lignes commençant par " - ", quelqu'un peut-il m'aider s'il vous plait ? merci par avance
Les seuls points où f peut présenter un extrémum sont (0,0) et (1,1).
En 0: f(x,0) - f(0,0) = x3 . Dans aucun voisinage de 0 , f(x,0) - f(0,0) garde le même signe . Donc pas d'extrémum en 0.
En (1,1): Pour tout (x,y) on a : 
(x,y) = f(1 + x,1 + y) - f(1,1) = 3(x2 + y2 - xy) + (x3 + y3) = 3((x - 3y/2)2 - 5y2/9) + (x3 + y3).
x 
(x,0) = 3x2 + x3 est 
0 dans un voisinage de 0 (Si on prend pour norme sur 
2 N : (x,y) Max(|x| , |y|) , pour N(x,y) < 1 on a (x,0) 0).
t (3t,2t) = -20t2/3 + 35t3 est < 0 pour |t| > 0 assez petit .
Dans tout voisinage de (1,1) prend des valeurs > 0 et d'autres < 0 donc pas d'extrémum en non plus en (1,1).
bonjour,
>>ichinisan
Hf(1,1)ce n'est pas plutôt
(6 -3)
(-3 6)
>>kybjm
* il me semble qu'il y a une erreur de calcul dans la deuxième forme de(x,y)
*je trouve que f passe par un minimum en(1,1)
Merci kybjm, la fonction (3t, 2t)
veleda : Effectivement j'ai fait une belle erreur de calcul merci de l'avoir pointée ! Les déterminants principaux de Hf(1, 1) sont donc 36 et 27, elle est donc définie négative et admet un minium en f(1, 1) = -1 
N'est ce pas ?
Donc apparemment le point (0, 0) est un point critique n'ayant pas d'extrema.
Et pour utiliser la deuxième méthode, il me faut regarder les limites de la façon f(x, y) quand elle tend vers 0 ?
Annuler
connectez vous
topologie en post-bac