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distance de la convergence uniforme sur tout compact
Bonjour
voilà j'ai un problème à traiter , je l'ai traité en partie mais je ne suis pas sûre de ma réponse.
soit (E,d) un espace métrique E=
^d
soit U=]0,
[ un ouvert non vide de E
Soit K_k=[1/k;k] , 
k
*
Soit C, l'espace des fonctionsréelles continues sur l'ouvert U
_k(f,g)=sup{|f(x)-g(x)|, xK_k}
d(f,g)=
k=k_o; [(_k(f,g))/(1+_k(f,g))]
Montrer que d(f,g) est bien définie (la série converge) et que l'application (f,g)
d(f,g) est une distance sur C.
on sait que [(_k(f,g))/(1+_k(f,g))]
est majorée par 1, ce qui donne une série divergente
du coup je ne vois pas comment montrer qu'elleest convergente
et j'ai aussi un problème pour montrer l'inégalité triangulaire de d
on a _k(f,g)
_k(f,h)+_k(h,g)
l'inagalité est inversée quand je passe à l'inverse donc je ne peux pas conclure
Merci d'avance pour votre aide
Bonjour,
pour l'inégalité triangulaire, étudie x/(1+x).
Il se trouve et c'est facile, que chacun des delta_k est équivalent à la norme uniforme sur K_k.
En revanche, j'ai des doutes quant à la convergence de ta série, ne manque t'il pas un poids du genre 1/2^k ?
merci , c'est vrai que c plus simple avec x/1+x
après je dois démontrer l'uniformité.
par contre la phrase "montrer que d(f,g)..." je l'ai recopier telle qu'elle . alors je sais pas si le prof suggère qu'elle converge ou si pour montrer que d est bien définie je dois montrer la convergence
en tout cas merci beaucoup , bonne soirée
Je ne comprend pas ce que tu veux dire mais en tout cas c'est sur que ta série diverge dans le cas général.
Prend par exemple f=0 et g=1, alors d(f,g)=1 et tu sommes une infinité de fois 1/2 ...
Je pense qu'il y'a un poids qui converge comme je te l'ai dit, en général on prend 1/2^k.
coucou otto,
ben en fait tu avais raison , il ya eu réctification ce matin c'est bien:
d(f,g)=(k=k_o;) [(2^(-k))(_k(f,g))/(1+_k(f,g))]
je sais que la somme de 1 à l'infini de 2^(-k) est égale à 1
mais je ne vois pas par quoi majorer ma série pour dire qu'elle converge.
et puis pour la distance (la réctification ne change rien), j'ai essayer avec x/1+x
je sais qu'elle est croissante concave mais je me heurte au même problème quand je passe aux distances.
merci de m'aider ...encore un petit peu 
Bonjour,
chaque terme de ta somme est inférieur à , d'après le principe de comparaison
,
pour l'inégalité triangulaire cela revient à la montrer pour chacune des ,
ce qui revient au même de montrer que pour , on a
.
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