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Distance entre deux parties
Bonjour a tous,
je suis nouveau dans le site, donc je vous prie de m'excuser pour la présentation du problème.
l'exercice consiste à étudier certaines propriétés des distances de deux parties :
Soient A et B deux parties d'un espace métrique X. Posons:
d(A,B) := inf (d(a, b))
(a,b) € A×B.
1. Montrer que cette définition est cohérente. Le nombre positif d(A,B) est alors appelé distance de A à B.
2. Soient A et B deux parties de X, montrer que A 
B = 
d(A,B) = 0. La réciproque est-elle vraie ?
pour la première question je ne sais pas ce que je dois faire, à chaque fois je me retrouve avec des questions de ce genre et je ne sait pas quoi répondre, .
pour la dexieme question j'ai posé C = A B
et j'ai pris un élément c de C , donc on pourrait voir c comme étant un élément à la fois de B et de A ce qui implique que d (c,c) = 0 donc inf (d(a, b))= 0.
(a,b) € A×B.
pour la réciproque j'ai dit que c'est vrai parce que :
d(A,B) = 0 inf (d(a, b))= 0.
(a,b) € A×B.
a, b 
AXB tq d(a,b) = 0
a = b.
A
B 
.
j'aimerai savoir si pour la premiere question je dois montrer que d(A,B) est une distance, et je veux m'assurer si ma réponse pour la deuxieme question est logique et juste.
Merci.
Bonjour et bienvenue sur l'"ilemaths"
1. Il s'agit simplement de dire que l'ensemble des d(a,b) est minoré par 0, donc il y a bien un inf.
d(A,B) n'est pas une distance sur l'ensemble des parties, justement parce qu'à la question suivante tu vois qu'on peut avoir d(A,B)=0 même si A B.
2. Alors je pense que tu as mal écrit l'énoncé. Il faut surement montrer que entraine d(A,B)=0.
Si l'intersection est non vide, il y a un point commun, pour lequel d(a,b)=0, donc d(A,B)=0.
En revanche la réciproque est fausse. Le fait que d(A,B)=0 n'entraine nullement l'existence de a et b tels que tu les écris. Alors voilà un contrexemple.
Dans R muni de la distance usuelle prends A=|-1,0[ et B =]0,1]
Bonjour,
merci beaucoup
en effet, je m'excuse pour l'erreur que j'ai commise dans l'énonce c'est bien A B d(A,B)=0.
par contre, en ce qui concerne la réciproque je suis tout à fait d'accord avec vous mais je ne vois pas l'erreure que j'ai commise dans mon raisonnement :
d(A,B) = 0 inf (d(a, b))= 0.
(a,b) € A×B.
a, b AXB tq d(a,b) = 0
a = b
A B ( cette implication est elle vrai ??)
même si 
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