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Domaine fondamental

Posté par
Fractal
31-12-08 à 13:16

Bonjour

Comment montre-t-on (par exemple) que 3$\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2 est homéomorphe à [0,1]^2/\mathbb{Z}^2 (pour l'action de 3$\mathbb{Z} par translations), avec une démonstration générale qui puisse s'adapter à toutes les situations analogues.

L'application bien définie de [0,1]^2/\mathbb{Z}^2 dans 3$\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2 est bijective et continue, mais je peine à montrer qu'elle est ouverte, c'est à dire que si U est un ouvert de [0,1]² réunion de classes d'équivalences, il faut montrer que son image dans R² est également un ouvert (on voit bien qu'on a besoin d'utiliser le fait que [0,1] est fermé, mais je ne vois pas comment)

Merci d'avance

Fractal

Posté par
Rodrigo
re : Domaine fondamental 31-12-08 à 13:42

Bonjour,
[0,1]²/Z² est compact (comme image du carré fermé par la projection par exemple). Donc ton application est automatiquement fermée.

Posté par
Fractal
re : Domaine fondamental 31-12-08 à 14:19

Bonjour

Zut, mauvais exemple, j'avais pas vu qu'il était trivial celui-là, en fait c'est le cas où le domaine fondamental n'est pas compact qui m'intéresse.
Par exemple comment montrer que \mathbb{R}^2/(\mathbb{Z}\times\{0\}) est homéomorphe à [0,1]\times\mathbb{R}/(\mathbb{Z}\times\{0\})?

Fractal

Posté par
Rodrigo
re : Domaine fondamental 31-12-08 à 14:35

Ben tu as une injection continue et fermée de [0,1]xR dans R² qui passe au quotient (comme tout injection en fait).

Maintenant si tu prends U ou ouvert de R²/Zx0 alors il se remonte en un ouvert (saturé) de R² qui est un ouvert de Rx[0,1] par definition de la topologie induite, et cet ouvert est saturé. Donc l'image de cet ouvert dans Rx[0,1]/Zx0 est ouverte et comme on a un diagramme commutatif evident (que je te laisse ecrire) entre les 4 espaces, l'application entre les quotients est ouverte.

Posté par
Fractal
re : Domaine fondamental 31-12-08 à 15:58

Ça marche , ce qui me posait un peu problème c'est de montrer que l'application de [0,1]×R/Z×0 dans R²/Z×0 est ouverte, mais je n'ai pas le réflexe d'essayer de montrer plutôt qu'elle est fermée, ce qui était beaucoup plus simple dans le cas présent.

Merci

Fractal



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