Bonjour
Comment montre-t-on (par exemple) que est homéomorphe à (pour l'action de par translations), avec une démonstration générale qui puisse s'adapter à toutes les situations analogues.
L'application bien définie de dans est bijective et continue, mais je peine à montrer qu'elle est ouverte, c'est à dire que si U est un ouvert de [0,1]² réunion de classes d'équivalences, il faut montrer que son image dans R² est également un ouvert (on voit bien qu'on a besoin d'utiliser le fait que [0,1] est fermé, mais je ne vois pas comment)
Merci d'avance
Fractal
Bonjour,
[0,1]²/Z² est compact (comme image du carré fermé par la projection par exemple). Donc ton application est automatiquement fermée.
Bonjour
Zut, mauvais exemple, j'avais pas vu qu'il était trivial celui-là, en fait c'est le cas où le domaine fondamental n'est pas compact qui m'intéresse.
Par exemple comment montrer que est homéomorphe à ?
Fractal
Ben tu as une injection continue et fermée de [0,1]xR dans R² qui passe au quotient (comme tout injection en fait).
Maintenant si tu prends U ou ouvert de R²/Zx0 alors il se remonte en un ouvert (saturé) de R² qui est un ouvert de Rx[0,1] par definition de la topologie induite, et cet ouvert est saturé. Donc l'image de cet ouvert dans Rx[0,1]/Zx0 est ouverte et comme on a un diagramme commutatif evident (que je te laisse ecrire) entre les 4 espaces, l'application entre les quotients est ouverte.
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