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ensemble borné
Bonsoir,
j'ai un souci avec un exo du cours:
Soit un espace métrique.
1) Montrer qu'un compact de est fermé borné.
2) Est-ce réciproque?
Déjà pour la 1), je bloque 
merci pour votre aide.
En fait plus précisément, je pensais montrer qu'un tel compact K peut être recouvert par un ensemble fini de boules ouvertes ,
et essayer de montrer que ces boules sont incluses dans la boule , mais je n'arrive pas à montrer l'inclusion dans cette grosse boule.
Pour la 2), la boule unité fermée n'est pas compacte d'après le théorème de Riesz, mais c'est un exemple un peu trop marteau piqueur, je pense.
salut romu
Pour l'inclusion que tu veux montrer je ne sais pas si elle est vraie (on est tenté d'avoir une vision "euclidienne" de la chose mais la distance peut être assez bizarre). Il faut revenir à la définition de borné dans un espace métrique : pour ma part, c'est être de diamètre fini.
Pour la 2 :
Pour la 2), la boule unité fermée n'est pas compacte d'après le théorème de Riesz
En dimension infinie uniquement bien entendu.
Tu peux par exemple, prendre un exemple simple : l'ensemble des suites réelles sommables. (exhibe une suite dont on ne peut extraire aucune sous-suite convergente)
Kaiser
Bonsoir Kaiser,
oui je me demandais quelle définition d'"être borné" adopter,
et si justement il y avait équivalence entre être de diamètre fini et être dans une boule ?
Si une partie A de E est dans une boule, A est donc borné.
Mais la réciproque je ne sais pas.
Ensuite pour en revenir au problème, il fudrait montrer que la réunion de deux parties bornées est bornée.
et si justement il y avait équivalence entre être de diamètre fini et être dans une boule ?
ça doit être le cas. En bidouillant un peu (avec des bornes sup et compagnie), on peut arriver à montrer ça.
Ici, on peut montrer facilement qu'un compact est de diamètre fini (comment ?)
Kaiser
Si une partie A de E est dans une boule, A est donc borné.
Mais la réciproque je ne sais pas.
En fait, c'est plus simple qu'il n'y parait :
Soit A une partie non vide de E.
Si A est inclus dans une boule de rayon r, alors A est borné de diamètre inférieur à 2r.
Si A est borné de diamètre égale à r, alors A est inclus dans une boule de rayon r dont le centre peut être n'importe quel élément de A.
Ensuite pour en revenir au problème, il faudrait montrer que la réunion de deux parties bornées est bornée.
Si tu veux raisonner ainsi, il faut peut-être faire intervenir la distance entre ces deux parties.
Kaiser
ah oui mais pourquoi je me prends autant la tête 
Si tu veux raisonner ainsi, il faut peut-être faire intervenir la distance entre ces deux parties.
ok je pensais à ça aussi, merci je vais développer dans cette direction plus confiant, tu pensais raisonner autrement pour montrer qu'un compact est de diamètre fini?
tu pensais raisonner autrement pour montrer qu'un compact est de diamètre fini?
on peut considérer f l'application définie sur le compact K² par f(x,y)=d(x,y).
Cette application est continue (car 1-lipschitzienne, étant donné l'inégalité triangulaire de gauche) sur le compact K² donc est bornée (et accessoirement atteint ses bornes). Le diamètre de K, étant égal à la borne supérieure de f, est donc fini.
Kaiser
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