Bonjour,

N'oublie pas que l'image réciproque d'un ouvert (resp. fermé) par une application continue est un ouvert (resp. fermé).

Oups, il se peut que n'ai pas bien lu ton exo !

En fait c'est quoi ton ensemble? Comme il est écrit c'est faux !
f(t) appartient à C[0,1] n'a aucun sens

Bonjour,
il y'a plusieurs incohérences.
Monrow t'en a notifié une. Il faut aussi parler de la topologie que tu mets sur C[0,1]. J'imagine que c'est la norme uniforme.

Dans ce cas, soit f telle que
a<f(t)<b pour tout t dans [0,1], notamment f atteint son min et son max, disons a' et b' respectivement.

Le but est de montrer que tu peux trouver un r tel que B(f,r) contient uniquement des fonctions vérifiant encore ton énoncé.
Ici je verrais bien intervenir un truc du genre ascoli, mais je n'ai pas essayé.

Il n'y a pas besoin d'Ascoli, je crois...
Avec la propriété :

Oui tu as raison, c'était ma première idée mais je ne sais pourquoi j'avais l'impression de ne pas pouvoir trouver une borne uniforme. En fait il suffit juste de la fixer à
m=min(a'-a,b-b')/3 et de regarder toute fonction h de norme au plus m.

Ainsi, sauf erreur, on devrait avoir que la boule de rayon m et de centre f est incluse dans E.

Diviser par 2 au lieu de 3 suffit je pense... Mais ça ne change rien.

Oui, mais je préfère toujours diviser par 3 dans ces trucs là ...

Je suis pour ma part tenté de diviser par pi ou par e, mais je me dis que ce serait trop bizarre. Je serais tenté de dire que pi ou e ou 3 ou 5 ou 1222455 sont plus pédagogiques, en ce sens qu'il montrent que peu importe le réel >1 ça marche toujours. 2 est aussi plus pédagogique car il montre qu'il n'y a pas de piège, que le plus simple marche... Tout se discute...

En effet, MONROW a probablement raison.
Il apparaît clairement que la formulation de mon exo est quelque peu confuse.
La formulation donné par OTTO est plus potable.

Merci d'avance pour les différentes interventions qui m'éclairent un peu mieux maintenant.

JP.