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ensembles

Posté par
mathetudes 04-10-09 à 12:00


salut

aidez moi SVP à résoudre cet exercice, je sais pas manipuler les ensembles
montrer que
A(différence symétrique) B=A(différence symétrique) C  (implique)B=C

Merci pour vous

Posté par
Narhmre : ensembles 04-10-09 à 14:22

Bonjour,

Plusieurs manières de faire :
Soit tu sais que (\mathcal{P}(\Omega),\Delta) est un groupe, et de ce fait, A\Delta B=A\Delta C implique B=C de maniere évidente.

Soit tu peux utiliser des fonctions indicatrices et le montrer directement : par exemple la fonction indicatrice de A est :
3$ \mathbb{1}_A : \ \Omega \longrightarrow \{0,1\} \\ \ \ \ \ \ x \longrightarrow \{{ 1 \text{ si } x\in A \\ 0 \text{ si } x\notin A
Tu peux montrer assez facilement que 3$ \mathbb{1}_A=\mathbb{1}_B \Leftrightarrow A=B, 3$ \mathbb{1}_{A^c}=1-\mathbb{1}_A , 3$ \mathbb{1}_{A\cup B}=\mathbb{1}_A+\mathbb{1}_B-\mathbb{1}_A\cdot\mathbb{1}_B et que 3$ \mathbb{1}_{A\cap B}=\mathbb{1}_A\cdot\mathbb{1}_B.

Ainsi la différence symétrique s'écrit très facilement avec des indicatrices : 3$ \mathbb{1}_{A\Delta B} = \mathbb{1}_A+\mathbb{1}_B-2\cdot\mathbb{1}_A\cdot\mathbb{1}_B.

Ensuite, il ne reste plus qu'à écrire A\Delta B=A\Delta C avec les indicatrices pour en conclure que l'indicatrice de B et celle de C sont les mêmes.

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