Bonjour, j'ai un souci à la fin de la 1ere question de cet exercice,

Soit H un espace de Hilbert, K partie convexe fermée non vide de H, et J une fonction convexe continue sur K et coercive si K n'est pas borné telle qu'il existe un élément a de K avec J(a)<.

1) Pour tout réel , on pose

i) Montrer que est un convexe, fermé et borné de H

* convexité facile en utilisant la définition et en utilisant la convexité de J
* fermé car image réciproque d'un fermé par J continue
*le cas borné me semble délicat

Je raisonne par l'absurde. Supposons non borné de H, alors K est borné de H et donc J est coercive ie :



Euh ensuite on utilise ce qu'on sait sur pour arriver une contradiction non?mais je sens une subtilité là j'arrive pas à bien rédiger ça