Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup TopologieTopics traitant de topologie [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

espace de suites

Posté par
romu 04-04-08 à 19:53

Bonsoir,

je bloque sur cet exercice:

Citation :
Dans l'espace S de toutes les suites réelles, on considère les vecteurs e^{(k)} définis par:

e_k^{(k)}=1 et e_n^{(k)}=0 si n\neq k

On désigne par:

l^{\infty} le sous-espace vectoriel des suites bornées, muni de ||x||_{\infty} = \sup_n\ |x_n|,
c_0 le sous-espace de l^{\infty} constitué des suites tendant vers 0, muni de la norme induite,
l^1 l'ensemble des suites x=(x_n)_{n\in \mathbb{N} telles que \Bigsum_{n=1}^{+\infty} |x_n|<+\infty, muni de ||x||_1=\Bigsum_{n=1}^{+\infty} |x_n|,
l^2 l'ensemble des suites x=(x_n)_{n\in \mathbb{N} telles que \Bigsum_{n=1}^{+\infty} |x_n|^2<+\infty, muni du produit scalaire <x|y>_2=\Bigsum_{n=1}^{+\infty} x_n y_n.


Pour tout f\in (c_0)' et N\geq 1, on pose x_{f,N}=\Bigsum_{n=1}^N \textrm{sgn}(f(e^{(n)}))e^{(n)}

où \textrm{sgn}(t)=\{1 \mbox{ si } t\geq 0,\\ 0\ \mbox{ sinon}.

(a) Montrer que x_{f,N}\in c_0. Calculer ||x_{f,N}||_{\infty} et f(x_{f,N}). En déduire que (f(e^{(n)}))_{n\geq 1}\in l^1.

(b) Montrer que l'application \psi:f\in (c_0)'\rightarrow (f(e^{(n)})_{n\geq 1} est une bijection linéaire de (c_0)' sur l^1
(i.e. on peut "identifier" (c_0)' et l^1). Calculer la norme de \psi dans \mathcal{L}((c_0)',l^1).


Pour la (a), j'ai trouvé

||x_{f,N}||_{\infty} = \sup_{1\leq k \leq N}\ |\textrm{sgn}(f(e^{(k)}))|= 0 \mbox{ ou } 1 ,

f(x_{f,N})=\Bigsum_{n=1}^N \textrm{sgn}(f(e^{(n)})) f(e^{(n)}).

Là je ne vois pas coment en déduire que déduire que (f(e^{(n)}))_{n\geq 1}\in l^1.

Pour la (b), j'ai montré que \psi est une bijection linéaire et que pour toute f\in (c_0)', |||f|||\leq ||\psi(f)||_1,

mais je n'arrive pas à montrer que \psi est continue sur (c_0)' et déterminer sa norme.

Merci pour votre aide.  

Posté par
ottore : espace de suites 05-04-08 à 00:44

Bonjour,
a -> Holder ...

b -> définition de la continuité ?
La norme on a une grosse idée à partir de l'inégalité que tu donnes non ?

Posté par
romure : espace de suites 05-04-08 à 11:54

ok pour la a), je n'avais pas pensé à Holder, merci otto.

Posté par
romure : espace de suites 30-04-08 à 20:50

Je reprends cet exo,

pour la b) la définition de la continuité se traduit à l'aide de la linéarité de \psi ainsi (on se limite à la continuité de \psi sur l'origine de (c_0)' ):

\psi est continue sur (c_0)' si pour tout \varepsilon>0, il existe \eta>0 tel que

3$||f||_{(c_0)'}<\eta\ \Longrightarrow\ ||\psi(f)||_{l^1}<\varepsilon.

Je n'arrive pas à la vérifier

Posté par
romure : espace de suites 02-05-08 à 16:28

Posté par
Camélia Correcteurre : espace de suites 02-05-08 à 16:40

Bonjour

f est une forme linéaire continue sur c0.

Un élément x de c0 est une suite (xn) qui tend vers 0. On a f((x))=\bigsum_{n=0}^\infty x_nf(e_n) donc
||f||_{(c_0)'}=\sum_{n=0}^\infty|f(e_n)|=||\psi(f)||_{l^1}

Posté par
romure : espace de suites 02-05-08 à 16:49

Mais pourquoi a-t'on ||f||_{(c_0)'}=\Bigsum_{n=0}^{\infty} |f(e_n)| ?

Posté par
Camélia Correcteurre : espace de suites 02-05-08 à 17:01

C'est général.

Avec les notations ci-dessus, |f((x))|\leq \bigsum_{n=0}^\infty|x_n|\ |f(e_n)|\leq \bigsum_{n=0}^\infty|f(e_n)|\sup|x_n| (le sup est atteint puisque xn tend vers 0)
Ceci montre que ||f||_{(c_0)'}\leq \bigsum_{n=0}^\infty |f(e_n)| Pour montrer l'autre inégalité, evaluer sur (1,1,...,1,0,...,0,...)

J'espère que ça te suffira, car là je men vais...

Posté par
romure : espace de suites 02-05-08 à 17:05

ok j'avais zappé les suites (1,1,...,1,0,...,0,...),
je vais pouvoir me débrouiller avec ça

Merci Camélia

Posté par
romure : espace de suites 04-05-08 à 22:57

On considère une suite (\alpha_n)_{n\geq 1} croissante vers +\infty de réels strictement positif.
On note
               3$E=\{x=(x_n)_{n\geq 1}:\ (\alpha_n x_n)_{n\geq 1}\in c_0\}.

On montre que E est un sous-espace vectoriel dense de (c_0,||.||_{\infty}). On munit E de la norme ||x||_E= \sup_n\ |\alpha_n x_n|.

Montrer que les boules fermées de (E,||.||_E) sont des convexes compacts de (c_0,||.||_{\infty}).

On considère la boule unité fermée B:=B_{||.||_E}[0_E,1]. On montre d'abord que B est fermée pour ||.||_{\infty}.

Ensuite on veut montrer que B est précompacte pour ||.||_{\infty}, ie montrer que

pour tout \varepsilon>0, il existe une partie finie Q_{\varepsilon} de B telle que pour tout x\in B on ait d_{\infty}(x,Q_{\varepsilon})\leq \varepsilon.


On fixe donc \varepsilon>0. Comme \alpha_n\uparrow +\infty il existe N_{\varepsilon}\in \mathbb{N}\setminus \{0\} tel que 3$k\geq N_{\varepsilon}\ \Longrightarrow\ \frac{1}{\alpha_k}\leq \varepsilon.

Soit l'application 3$\p_{\varepsilon}: c_0\rightarrow \mathbb{R}^{N_{\varepsilon}} qui à 3$y=(y_k)\in c_0 associe 3$(y_0,...,y_{N_{\varepsilon}-1}).

On munit 3$\mathbb{R}^{N_{\varepsilon}} de la norme définie par 3$||y||=\max_{0\leq k \leq N_{\varepsilon}-1}\ |\alpha_k y_k|.

Soit 3$D_{\varepsilon}=\p_{\varepsilon}(B).


Pourquoi 3$D_{\varepsilon} est un fermé borné de 3$(\mathbb{R}^{N_{\varepsilon}},||.||) ?

Posté par
romure : espace de suites 04-05-08 à 23:59

Bon je crois déjà que j'ai compris pourquoi 3$D_{\varepsilon} est borné.

Pour tout 3$y\in D_{\varepsilon}, il existe x\in B tel que 3$y=\p_{\varepsilon}(x).

On a alors 3$||y||=||\p_{\varepsilon}(x)|| = \max_{0\leq k \leq N_{\varepsilon} - 1}\ |\alpha_k y_k| \leq \sup_{k\in \mathbb{N}}\ |\alpha_k y_k|=||x||\leq 1.

Par contre pour montrer que 3$D_{\varepsilon} est fermé, avec la caractérisation séquentielle de l'adhérence je me casse les dents.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !