Bonsoir

Comme A est séparé, on peut construire son compactifié d'Alexandroff . (Il s'agit du compactifié obtenu en rajoutant un point "à l'infini"). A se plonge dans et son image est fermée si et seulement si A est compact. Donc je répondrais OUI à ta question.

Salut

Il me semble que le compactifié d'Alexandroff ne fonctionne que pour les espaces localement compacts. Si A n'est pas localement compact, son « compactifié d'Alexandroff » n'est a priori pas compact.

Fractal

Tu as raison, je m'en étais apercue après coup! Ca m'apprendra à écrire en dehors de mes horaires... Aucune des autres compactifications ne convient? Si je me souviens bien, Stone-Chech marche pour n'importe quel espace topologique, mais je ne me rappelle plus si la flèche canonique est injective!

De toute façon j'aurais du penser que si tu poses la question, la réponse n'est pas aussi immédiate!

Pfouuu ca fait longtemps que j'y ai pas touché à ça.

Dites moi si je me trompe: Si l'hypothèse de départ est vérifiée, elle l'est entre autres pour B fini ...

A ce moment là, soit x A et O un voisinage de x.
Pour un recouvrement R d'ouvers de O, on a O f^-1(f(V_R)) = f^-1(f(V_R)) , cette dernière union étant finie et ces éléments étant des ouverts du fait que B est fini. Donc O est compact et A localement compact.

Ce que je ne comprends pas c'est que l'hypothèse séparé n'içntervient pas ...

oups, j'ai mal interprété la question. Mais O = A donne la réponse : A est fini et compact.

Bonjour amauryxiv2

La seule chose qui cloche, c'est que tu ne sais pas si de telles fonctions continues existent! Par exemple si A est connexe, les seules fonctions continues dans un ensemble fini discret sont les fonctions constantes... (et, tout de même, tous les connexes ne sont pas compacts!)

Exact.
Comme quoi il est bon ce temps en temps de se rafraichir la mémoire ...
J'aurais essayé !!

Pour amauryxiv2

Quelle est ton application f ?

Si B est fini toute partie de B est fermée ou alors quelle est la topologie que tu mets sur B ?

Pour f, Camelia a bien mis en lumière mon erreur. Pour la topologie, je pensais à celle induite par les singletons.

Oui, c'est bien comme ça que je l'ai compris!

Il me semble que pour que l'application canonique de A dans son compactifié de Stone-Čech soit injective, il faut un peu plus que séparé.
On a définit le compactifié de Stone-Čech en TD à partir du produit (compact par Tychonoff) de [0;1] plein de fois avec lui même, le produit étant indexé par l'ensemble des fonctions continues de A dans [0;1]. On peut ensuite envoyer A dans ce produit en demandant que la composante indexée par f de l'image de x soit f(x).
Mais pour que cette application soit injective il faudrait au moins que pour deux points distincts x et y, il y ait une application continue de A dans [0;1] qui ne prenne pas la même valeur en x et en y, ce qui me semble difficile à garantir dans le cas général.

Fractal

Bonjour. D'où vient ce questionnement ? As tu la réponse Fractal ?

Non non, je n'ai pas la réponse. Je me suis posé cette question en relisant mon cours de topologie et en essayant de comprendre ce qu'est un espace compact. Et la caractérisation de compact comme espace « universellement fermé », dans le sens qu'un compact resterait fermé où qu'on l'envoie (continûment et dans un espace séparé bien sûr), serait agréable à avoir et permettrait de mieux intuiter ce qu'est qu'un compact il me semble.

Fractal

Ben, moi non plus! Alexandroff règle le cas des localement compacts. Maintenant, si on cherche des contrexemples, j'irais d'abord vers un complet non localement compact (par exemple un Banach de dimension infinie) et ensuite, vers un non métrisable, par exemple les fonctions réelles avec la topologie de la convergence simple.

Les complets me paraissent plus prometteurs, justement dans l'optique ils ont tendance à donner des images fermées...

Je réfléchirai encore.

Enfin, il y a les paracompacts dont le principal intérêt est d'accepter des partitions de l'unité, ceci dans une optique Stone-Chech.

Je crois avoir une démonstration, mais à prendre avec des pincettes...

Soient A et B séparés, continue et f(A) non fermé dans B. Alors f n'est pas surjective, et je fixe

Comme B est séparé, est l'intersection de tous les voisinages fermés de .
Soit la famille des voisinages fermés de ; on a

Pour chaque i, soit . Chaque est un fermé non vide de A.



Soit un ensemble fini d'indices. Comme est un voisinage de z, son intersection avec f(A) est non vide. Donc .

On a une famille de fermés dont l'intersection est vide et dont toute sous-famille finie a une intersection non vide. A n'est pas compact!

A vérifier soigneusement, j'avoue que je ne m'attendais pas à ce que la réponse soit oui!

Il me semble qu'il y a embrouille quelque part .

Que signifie "Est-ce que A est nécessairement compact"  (si quoi ?)

Sans utiliser "nécessairement " on peut dire :


Soient A un topologique séparé et P1 P2 les propriétés suivantes :

P1 : A est compact

P2 :" B topologique séparé , f ,application continue de A dans B , f'A) est fermé".

On a : P1 P2 (l'image continue d'un compact dans un séparé est compacte donc fermée.) C'est un théorème classique que Camélia a retrouvé.( Ca m'arrive aussi)

Mais a-t-on P2 P1 ?.

  En raisonnant par l'absurde : si A n'est pas compact de quelles (B,f) dispose-t-on?

Oui, oui, il y a embrouille! A force de le triturer j'ai ressorti une démonstration plus compliquée que la classique du sens direct!

La question est toujours ouverte!

Encore moi... Je n'ai toujours pas la réponse, mais j'ai fait un peu de déblayage et be serait-ce que pour mettre MES idées dans l'ordre, j'écris ceci:

En hommage à fractal j'appelle un espace séparé dont toutes les images continues sont fermées. On trouve dans la littérature:

: espace séparé (Haussdorf) - deux points distincts peuvent toujours être séparés par des ouverts disjoints.

: espaces réguliers - un point et un fermé qui ne le contient pas peuvent être séparés par des ouverts disjoints.

espaces complètement réguliers - si x est un point et F un fermé qui ne le contient pas il existe une fonction continue à valeurs dans [0,1] qui vaut 0 au point x et 1 sur F.

Théorème: est équivalent au fait d'être homéomorphe à un sous-espace d'un compact.

Donc et entraine compact.

J'ai un exemple d'espace séparé non régulier, je l'ai mis ici Vraiment pas compact! mais je ne sais pas s'il est , je crois que non...

Tout ça pour dire que s'il y a un non compact , il devrait se situer du côté de mais pour le moment je n'ai pas de régulier pas complètement régulier sous la main...