Salut.
J'ai un petit souci avec la définition d'un espace normal. En effet, dans un livre il est dit que un espace topologique X est normal ssi il est séparé, et si pour toute paire de fermés disjoints A et B, il existe une paire d'ouverts disjoints U et V contenant respectivement A et B.
Dans une autre source, seule la deuxième condition est citée, l'espace n'est plus supposé séparé.
Sur Wikipédia, l'espace doit être T1 (une forme plus faible de séparation).
Du coup, quelle est la véritable définition ?
Et sinon, sur la page Wiki (), dans leur proposition, ils disent que X est normal ssi pour tout fermé A de X, et tout ouvert V de X contenant A, il existe U un ouvert tel que , et ils la démontrent sans parler de la séparation. (idem dans le bouquin que j'ai mentionné, où ils donnent ça en exo sans préciser que l'espace est séparé)
Bref, est-ce que vous pouvez m'éclairer un peu ?
Salut
Je connais personnellement la définition d'un espace normal avec la séparation. Peut être que dans ton exercice on travaille dans un métrique non? (Auquel cas on a la séparation)
Non, c'est tout à fait général. Par la suite, on se place dans des espaces particuliers (métriques, compacts, ...)
Oui, je pense aussi, ça doit dépendre des conventions, etc ...
Mais bon, je trouve que sur la page Wiki, ils devraient préciser, parce que si l'espace n'est pas T1 (c'est ce qu'ils utilisent comme définition), on a pas équivalence entre les deux assertions ...
Salut
Pour moi, être normal n'impose aucune condition de séparabilité. Après, c'est une question de définition et comme le dit Jord, il y a peut être des rafinnements comme dans le cas de la compacité.
Euh oui, de séparation.
Personnellement, pour le lemme d'Urysohn, j'ai fait l'un des défis de Fractal. J'ai pas posté ma solûce (par flemme principalement) ce qui fait que le topic est toujours sans réponse. Fais une recherche sur le forum, les questions sont bien posées.
Je viens de retrouver le topic : Exo défi : Lemme d'Urysohn
Il y a la même question intermédiaire sur les dyadiques, à quelques détails près.
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