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Niveau Licence Maths 1e ann
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Espace normal

Posté par
Arkhnor
29-12-08 à 17:31

Salut.

J'ai un petit souci avec la définition d'un espace normal. En effet, dans un livre il est dit que un espace topologique X est normal ssi il est séparé, et si pour toute paire de fermés disjoints A et B, il existe une paire d'ouverts disjoints U et V contenant respectivement A et B.
Dans une autre source, seule la deuxième condition est citée, l'espace n'est plus supposé séparé.
Sur Wikipédia, l'espace doit être T1 (une forme plus faible de séparation).

Du coup, quelle est la véritable définition ?

Et sinon, sur la page Wiki (), dans leur proposition, ils disent que X est normal ssi pour tout fermé A de X, et tout ouvert V de X contenant A, il existe U un ouvert tel que A \subset U \subset \bar{U} \subset V, et ils la démontrent sans parler de la séparation. (idem dans le bouquin que j'ai mentionné, où ils donnent ça en exo sans préciser que l'espace est séparé)

Bref, est-ce que vous pouvez m'éclairer un peu ?

Posté par
Nightmare
re : Espace normal 29-12-08 à 17:40

Salut

Je connais personnellement la définition d'un espace normal avec la séparation. Peut être que dans ton exercice on travaille dans un métrique non? (Auquel cas on a la séparation)

Posté par
Arkhnor
re : Espace normal 29-12-08 à 17:50

Non, c'est tout à fait général. Par la suite, on se place dans des espaces particuliers (métriques, compacts, ...)

Posté par
Nightmare
re : Espace normal 29-12-08 à 17:52

Je vois, c'est peut être un peu comme l'histoire de la compacité et de la quasi-compacité...

Posté par
Arkhnor
re : Espace normal 29-12-08 à 17:54

Oui, je pense aussi, ça doit dépendre des conventions, etc ...
Mais bon, je trouve que sur la page Wiki, ils devraient préciser, parce que si l'espace n'est pas T1 (c'est ce qu'ils utilisent comme définition), on a pas équivalence entre les deux assertions ...

Posté par
1 Schumi 1
re : Espace normal 29-12-08 à 17:58

Salut

Pour moi, être normal n'impose aucune condition de séparabilité. Après, c'est une question de définition et comme le dit Jord, il y a peut être des rafinnements comme dans le cas de la compacité.

Posté par
Arkhnor
re : Espace normal 29-12-08 à 19:11

Citation :

Pour moi, être normal n'impose aucune condition de séparabilité.

De séparation.

Merci pour les réponses, si j'ai un problème pour le lemme d'Urysohn, je vous fais signe.

Posté par
1 Schumi 1
re : Espace normal 29-12-08 à 19:18

Euh oui, de séparation.

Personnellement, pour le lemme d'Urysohn, j'ai fait l'un des défis de Fractal. J'ai pas posté ma solûce (par flemme principalement) ce qui fait que le topic est toujours sans réponse. Fais une recherche sur le forum, les questions sont bien posées.

Posté par
Arkhnor
re : Espace normal 29-12-08 à 19:25

Je viens de retrouver le topic : Exo défi : Lemme d'Urysohn
Il y a la même question intermédiaire sur les dyadiques, à quelques détails près.

Posté par
Arkhnor
re : Espace normal 30-12-08 à 15:28

Sur la page wiki anglaise, cette histoire de séparation est mentionnée :



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