Niveau Licence Maths 1e ann

Espaces métriques complets

Posté par
djamilajtn 05-01-10 à 18:19

Bonsoir,
Vous pouvez m'aidez s'il vous plait pour résoudre cet exercice:
On munit R de la distance
d(x,y)=|arctan(x)-artan(y)|
1. Comparer cette distance à la distance usuelle de R.
2. Montrer que (R,d) n'est pas complet (considérer la suite Un=n)

Merci d'avance.

Posté par re : Espaces métriques complets 05-01-10 à 21:43

Salut,

1) Elle définit la même topologie que la topologie usuelle de R.
2) (n) est de cauchy pour cette distance, mais elle converge pas vraiment.^^

Posté par re : Espaces métriques complets 05-01-10 à 22:10

Merci, mais si on voulait démontrer que (n) est de Cauchy:
on va utiliser:
$\forall$ $\alpha$ >0, $\exists$ $n_0$ $\in$ $\mathbb{N}$ , $\forall$ p,q $\in$ $\mathbb{N}$ : p,q $\ge$ $n_0$ $\Longrightarrow$ d( $u_p$ , $u_q$ )< $\alpha$
Vous pouvez me dire comment l'appliquer? merci.

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