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Etude topologique des matrices nilpotentes
Salut
J'aimerai bien savoir si l'ensemble des matrices nilpotentes est ouvert ou fermé ou rien (pourquoi pas un compact? ^^)
Je sais pas si la réponse est triviale et que je suis allé cherché sur la mauvaise voie ... Mais j'ai juste réussi à montrer que l'ensemble des matrices nilpotentes d'indice de nilpotence k fixé est fermé (ce qui est très clair)
Merci pour toute précision 
Salut momo
En utilisant la caractérisation séquentielle des fermés ça a l'air de marcher.
Soit une suite de matrices nilpotentes convergent vers
A partir d'un certain rang les sont nulles donc
aussi par passage à la limite, donc est nilpotente.
Cet ensemble est donc fermé.
Sauf erreur.
Et son intérieur? Sa connexité (par arcs, simple ...) ? Est-il dense dans Mn(K)? Dans GLn(K) ? Etc... 
C'est plus simple de remarquer que l'ensemble des matrices nilpotentes est l'ensembled es matrice verifiat M^n=0
Ah oui image réciproque du singleton {0} par l'application puissance qui est continue.
Bonsoir tout le monde
Il est d'interieur vide, connexe par arcs, clairement non dense car fermé, quant a son intersection avec gl(n) elle est vide...
Il n'est pas simplement connexe cause de la densité de Gln
Salut rodrigo, kéké
Oups ! c'est trop clair 
Désolé pour cette question !
Sinon, j'ai ces quelques résultats:
1. Le groupe linéaire est ouvert.
2. Le groupe spécial linéaire est fermé
3. L'ensemble des matrices nilpotentes est fermé.
4. L'ensemble des matrices de projection est fermé.
5. Le groupe orthogonal est compact
6. L'ensemble des matrices symétrique est fermé.
Avez vous d'autres quelques infos de topo matricielle? 
C'est plus simple de remarquer que l'ensemble des matrices nilpotentes est l'ensembled es matrice verifiat M^n=0
Ah oui image réciproque du singleton {0} par l'application puissance qui est continue.
Bah oui c'est ce que j'ai dans mon premier message:
Mais j'ai juste réussi à montrer que l'ensemble des matrices nilpotentes d'indice de nilpotence k fixé est fermé (ce qui est très clair)
Mais là on a juste montré que les matrices nilpotentes d'un indice inférieur ou égal à un indices fixés est fermé
Il est d'interieur vide, connexe par arcs, clairement non dense car fermé, quant a son intersection avec gl(n) elle est vide...
Il n'est pas simplement connexe cause de la densité de Gln
Tous ces infos m'intéressent ... concernant n'importe quel ensemble matriciel ... J'essaie de démontrer ^^
Ben tes matrices nilpotentes sont forcement nilpotentes d'indice au plus n fixe...
Tu peux montrer que GL(n,R) est non connexe, qu'il a deux composantes connexe, de meme O(n,R) est on connexe il a deux composantes connexes, SO(n,R) n'est pas simplement connexe. SU(n) et SL(n,C) sont simplement connexe et connexes.
O(2,1) a 4 composantes connexes, de meme pour O(n,1) me semble-t-il...je ne sais pas si ses composantes connexes sont 1-connexe
Bref y a du boulot. Quant au maytrices nilpotentes, tout ce que j'ai dit est trivial (ou presque).
Oui mais ce n est fixé au début non? L'ensemble des matrices nilpotentes est l'union de ces ensembles fermés (qui de plus est infinie, donc on ne peut conjecturer de cette manière) non?
Merci pour les autres propriétés, j'ai trouvé pour ma part:
- L'ensemble N des matrices nilpotentes est un cône
- exp réalise un homéomorphisme entre les nilpotents et les unipotents.
- exp réalise un isomorphisme entre et
Ah si ca se voit comme ca je suis d'accord !
Si tu te rappelles d'autres, n'hésite surtout pas à poster
Merci beaucoup !!
Ben je connais effectivement pas mal de choses dans ce domaine, mais en tout cas tres certainement moins que ce que tu pourras trouver dans un bouquin sur les groupes de Lie.
Par exemple tu as plein d'isomorphismes du style SO(2)=U(1)=S1=P1(R)
Bjour,
et la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel contenu dans les matrices nilpotentes c'est quoi ?
Bonjour
Gln(C) est connexe (par arcs): 
connexité de GLn(C) via la trigonalisabilité
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