Je relance

Bonjour

Quelle définition as-tu pour compact?

Salut

Camélia >> BW; BL n'est plus au programme.

Oui, je vois bien qu'on lui demande de démontrer BL mais je n'étais pas sûre que la définition soit bien BW.
Pierre c'est précipité sur "fermé borné" qui est certes nécessaire mais pas suffisant dans un espace de dimension infinie...

1) Non, ce n'est pas correct, il faut trouver un même r valable pour tous les x... et ce n'est pas trivial.
Je l'écrirai pour demain, j'ai besoin de réfléchir (si personne ne l'a fait jusque là).

2) Bien sur si la famille d'ouverts est finie, il n'y a rien à dire!

Alors voilà une démonstration par négation (admettant le 1).

Supposons qu'aucune sous-famille finie ne recouvre K. Soit x₁ dans K. Il existe contenant x₁. Comme cet ouvert ne recouvre pas K, il existe . Cet x₂ est dans un et d'après la première question, . Maintenant je choisis et je vois que et . On continue... ce qui fait une suite d'éléments de K dont les distances mutuelles sont supérieures à r, dont on ne peut en aucun cas extraire une suite de Cauchy. Donc BW n'est pas vrai!

Bonsoir,

pour la 1, en raisonnant par l'absurde ça doit marcher.

On suppose que pour tout entier non nul , il existe tel que pour tout , .

Alors pour tout   il existe , .

Par BW, pour tout il existe une sous-suite qui converge vers un élément , et cette sous-suite converge vers en fait quelque soit .

est dans , donc il existe tel que . A partir d'un certain rang, est dans vu que cette suite converge vers d'où la contradiction.

Pour sortir l'extraction qui dépend a priori de , je fais appel à l'axiome du choix, non? Il doit y a avoir plus élémentaire comme preuve

Bonjour Camélia et romu, merci pour vos réponses.

Camélia :

Effectivement, il s'agit d'un même r... j'ai lu un peu vite.
Sinon j'ai compris ta démonstration pour la 2.

romu :

Je comprends le raisonnement. En quoi fais-tu appel à l'axiome du choix ?
S'il y a plus élémentaire, je suis preneur bien entendu.

Merci !

Bonjour

J'avais fini par me rappeler la démonstration de 1) par l'absurde qui est à peu près la même que celle de romu et qui n'utilise pas l'axiome du choix. On peut rédiger de manière plus constructive, un peu comme dans 2) pour obtenir une suite qui ne contient aucune sous-suite de Cauchy, mais l'idée est la même.

Reste la question 3) où il faut donc démontrer que BL entraine BW.

Soit (x_n) une suite d'éléments de K supposée infinie. Comme il existe une famille finie d'éléments de K telle que . Alors une de ces boules, par exemple contient une infinité de termes de la suite donnée. On fait une première extraction qui consiste à éliminer tous les termes de la suite qui ne sont pas dans cette boule. On recommence avec un recouvrement par des boules de rayon 1/2... et on continue.

A tout hasard je rappelle: BL signifie Borel-Lebesgue; un espace vérifie la condition de Borel-Lebesgue si de tout recouvrement par des ouverts on peut extraire un recouvrement fini.

BW signifie Bolzano-Weierstrass: Un espace métrique vérifie la condition de Bolzano-Weierstrass si de toute suite on peut extraire une suite convergente.

Merci Camélia, je ne connaissais pas BL.

@+

Justement, on te demande de montrer que dans le cas métrique les deux conditions sont équivalentes. Mais BL, contrairement à BW, a un sens dans n'importe quel espace topologique.

Pourquoi BW n'aurait pas de sens dans n'importe quel espace topologique?

On peut définir la notion de convergence d'une suite dans n'importe quel espace topologique, et il me semble que l'on appelle un espace topologique qui vérifie BW un espace dénombrablement compact.

On peut le faire, mais je ne l'ai jamais vu faire. Ce qui n'a vraiment pas de sens dans un non métrique c'est la notion de suite de Cauchy. Par ailleurs, même si on le fait, dans le cas non métrique il n'y a pas d'équivalence entre BW et BL. Je voulias sous-ligner le fait que BL est bon partout, mais qu'il faut sérieusement se méfier de BW dans le cas non métrique!

On ne peut pas vraiment parler de convergence d'une suite dans un espace quelconque surtout s'il n'est pas séparé. La notion de limite est complètement dévoyée dans de telles conditions et a fortiori celle de valeur d'adhérence.

En retard...

J'aime beaucoup "dévoyée"

oui mais il y a des espaces séparés non métrisables, on avait vu cette notion en analyse fonctionnelle pour exprimer une version faible du théorème de Banach-Alaoglu.

Si j'ai bien saisi, l'avantage de cette notion de compacité (qui diffère en général de BL dans un espace toplologique quelconque) nous permet de garder dans certains espaces vectoriels topologiques, des propriétés a priori caractéristiques de la dimension finie, même en dimension infinie.

Par exemple si E est un IR-espace normé séparable, une partie de E* est dénombrablement compacte pour la toplogie *-faible ssi elle est fermée bornée.

OK, je vois; mais c'est quand même très spécialisé!

Euh, je vais me permettre d'interrompre votre discussion pour poser une petite question concernant un post de Camélia (04/11/08 à 14h24 : où Camélia donne une démonstration pour la troisième question).

Dans ce post, il s'agit de prendre une suite d'éléments sur K et de trouver une valeur d'adhérence. Je comprends parfaitement l'idée des recouvrements successifs mais il y a quelque chose qui me chagrine tout de même :

Les boules que l'on considère à chaque itération sont des boules dans lesquelles le nombre d'éléments est infini, donc qu'est-ce qui nous permet de dire que l'on va arriver à "se centrer" sur un seul élément ? Je vois bien que c'est un peu comme avec la démonstration de BW ou le théorème des segments emboités mais dans ces deux cas, la notion de complétude rentre en jeu, non ?

J'ai loupé un argument supplémentaire ?

Merci

Je préfère laisser Camélia s'expliquer sur son post (tout simplement parce que pour moi aussi ya un bug. ). Sinon, tu peux voir les choses comme ça:

On suppose que (u_n) n'admet pas de valeur d'adhérence. Alors pour tout a il existe un réel r_a tel que B(a,r_a) n'a qu'un nombre fini de termes de (u_n).
Comme K est recouvert par ces boules, on en tire un recouvrement fini. K inclus dans une union finie de boules de centre a_i et de rayon r_i.
Mézalor { n € N, u_n€K}={n€N, u_n appartient à l'un des B(a_i,r_i)} est fini et donc N est fini!

Salut Schumi, et merci de ton post.

On m'a déjà fait part de cette démonstration par contraposée.
Je suis par contre curieux de voir une preuve directe.

Ok dans ce cas il reste à montrer que "compact au sens de BL ==> complet" et la démo de Camélia devient limpide. Je cherche mais ça ne me paraît pas spécialement triviale.

Vous avez raison, j'ai été un peu vite. Donc on en est à une démonstration directe de BL BW

D'abord je fais remarquer que BL traduit en termes de fermés par passage au complémentaire est équivalent à

Si est une famille de fermés telle que , il existe une famille finie d'indices telle que . Il en résulte que l'intersection d'une famille décroissante de fermés non vides est non vide.

Soit (x_m) une suite et pour chaque n soit F_n l'adhérence de l'ensemble . D'après ce qui précède l'intersection de tous les F_n est non vide et un point de cette intersection est une valeur d'adhérence.

Bonsoir Camélia,

Je ne comprends pas pourquoi "un point de cette intersection est une valeur d'adhérence".

La suite   est-elle la suite des points que l'on considère dans les boules successives du 3) ?

Merci.

Non, on oublie ma démonstration précédente. La suite (x_m) est une suite quelconque. Alors soit x dans l'intersection des F_n. Comme x est dans F₁, Il existe donc tel que .

Mais donc donc il existe tel que

et... on continue! Cette fois je crois que c'est OK.