Bonjour, je voudrais savoir si mon raisonnement sur l'exercice suivant est correct.
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Soit B l'ensemble des suites bornées de réels ou de complexes, muni de la norme uniforme.
L'ensemble des suites nulles à partir d'un certain rang est-il un compact de B ?
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Je note
et
Soit avec
On a , tel que ,
On cherche une application strictement croissante de dans telle que .
est une suite bornée de , donc il existe telle que .
On construit de même les applications et on pose .
On a où .
Et on a bien car si , on a ,
Correct ?
Salut Pierre
Le problème est que N peut très bien ne pas exister (a priori, on n'a aucun contrôle sur la suite qui peut être non bornée).
D'ailleurs, cet ensemble n'est pas compact (intuitivement, on peut avoir de la masse qui fiche le camp à l'infini). Pour le montrer, intéresse-toi à la suite vérifiant .
Kaiser
Salut kaiser.
Effectivement, on ne maitrise pas du tout N...
Bon, je vais essayer de montrer par l'absurde que l'ensemble n'est pas compact avec la suite que tu proposes.
On considère donc où .
Je suppose que possède une valeur d'adhérence.
Il existe donc strictement croissante telle que :
Donc :
Donc on a
Donc A n'est pas compact.
Correct ?
Je ne comprends pas ta notation : pourquoi il y a un k dans la définition de la suite x ?
Cela dit, tu n'as pas besoin d'identifier l'éventuelle valeur d'adhérence. Il suffit de voir que les éléments de la suite ne sont pas vraiment proches.
Kaiser
Je ne comprends pas non plus... ça n'a effectivement pas de sens.
Est-ce que si l'on dit que , , cela suffit à dire que la suite ne converge pas ?
C'est même mieux que ça : la distance entre deux éléments distincts de la suite est toujours égale à 1 donc, a fortiori, ça sera vrai pour tous les éléments d'une sous-suite donc pour toute extraction , ne tend pas vers 0 d'où le résultat.
Kaiser
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