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EVN - Continuité

Posté par
puisea Posteur d'énigmes 20-10-08 à 20:23

Bonsoir, dans ma série d'exercices sur le sujet, je bloque sur la continuité de deux applications :

\red\varphi_1 : x\in(\mathcal{C},||.||_3)\to (\lim_{n\to +\infty}x_n)\in\mathbb{R}

où C=\{x\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}},\exists a\in\mathbb{R},\quad x_n\to a\}

et ||x||_3=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{|x_n|}{2^n}


L'application est bien définie et est linéaire. J'ai essayé de considérer des suites particulières mais sans résultat... J'imagine qu'il y en a une (entres autres) que je n'ai pas vu.


\red\varphi_2 : x\in(l_2,||.||_2)\to (x^2_n)_{n\in\mathbb{N}}\in(l_1,||.||_1)

où l_1=\{x\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}},\sum_{n=0}^{+\infty}|x_n|\quad CV\}

l_2=\{x\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}},\sum_{n=0}^{+\infty}x_n^2\quad CV\}

||x||_1=\sum_{n=0}^{+\infty}|x_n|

||x||_1=\sqrt{\sum_{n=0}^{+\infty}x_n^2^}

L'application est bien définie mais n'est pas linéaire.

Merci d'avance.

Posté par
tizere : EVN - Continuité 20-10-08 à 21:26

Bonsoir,
pour la première, suppose que l'application est continue, il existe alors une constante C>0 tq \varphi_1(x)\leq C||x||_3.
Soit (x_k(n))_n la suite de C définie par : x_k(n)=\left{0\quad si\;n\leq k\\1\; sinon. Calcule explicitement ||x_k||_3 et déduis en qu'une telle constante C ne peut exister.

Pour la deuxième il suffit de remarquer que ||\varphi_2(x)||_1=||x||_2^2 peut on alors toujours avoir ||x||_2^2\leq C||x||_2 pour une certaine constante C fixée ?

Posté par
Ksilverre : EVN - Continuité 20-10-08 à 21:30

Salut !


pour 1) prend un N fixé, et considére la suite an=0 si n<N et an=N sinon.

on a lim an = N mais ||an||=N/2^(N-1) qui tend vers 0, donc la fonction n'est pas borné au voisinage de 0...

Posté par
Ksilverre : EVN - Continuité 20-10-08 à 21:32

Tize : attention, pour le 2) tu es entrain d'appliquer des critère de continuité de fonction lineaire, alors que la fonction n'est clairement pas linéaire.

Posté par
tizere : EVN - Continuité 20-10-08 à 21:56

Salut Ksilver, oui c'est vrai je n'avais même pas regardé...

Posté par
perroquetre : EVN - Continuité 21-10-08 à 06:41

Bonjour, puisea

Pour la deuxième question:
3$ || \phi_2(x)-\phi_2(y)||_1 =\sum_{n=0}^{+\infty} |x_n^2-y_n^2| = \sum_{n=0}^{+\infty} |x_n-y_n||x_n+y_n|
On applique ensuite l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans l'espace l²:
3$ || \phi_2(x)-\phi_2(y)||_1 \leq ||x-y||_2 \ ||x+y||_2
A partir de cela, on peut montrer la continuité de l'application.

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : EVN - Continuité 21-10-08 à 15:58

Bonjour, merci pour vos réponses.

Pour la 1), OK merci !

Pour la 2)

Je suis d'accord sur le 3$ || \phi_2(x)-\phi_2(y)||_1 \leq ||x-y||_2 \ ||x+y||_2.

Mais je ne vois pas en quoi cela nous permet de conclure...
L'espace l_2 n'est pas borné pour la norme ||.||_2 donc on ne peut pas faire apparaitre une éventuelle constante de Lipschitz.

J'imagine que l'on doit passer par un critère de continuité mais je ne vois pas lequel vu que l'application n'est pas linéaire.

Merci.

Posté par
Rodrigore : EVN - Continuité 21-10-08 à 16:00

Bonjour...
La fonction \phi_2 apparait alors comme localement liphshitzienne, donc continue...

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : EVN - Continuité 21-10-08 à 16:03

Bonjour...

je ne connaissais pas la notion de localement lipschitzienne et encore moins que cela impliquait la continuité globale...

Posté par
perroquetre : EVN - Continuité 21-10-08 à 16:56

Faisons un raisonnement en   "epsilon-alpha"

Soit x dans l'espace l².
Soit epsilon strictement positif
On pose   3$ \alpha= \min\left( 1,\frac{\epsilon}{2||x||_2 +1}\right)
On a:

3$ ||x-y||_2 \leq \alpha \Longrightarrow ||\phi_2(x)-\phi_2(y||_1 \leq ||x-y||_2||x+y||_2\leq \alpha (||x||_2+||y||_2) \leq \alpha(2||x||_2+1)\leq \epsilon

...

Posté par
Ksilverre : EVN - Continuité 21-10-08 à 17:49

"la continuité globale..." >>>La continuité est une notion local ! on est continu 'globalement' si on est partout localement continu. donc si chaque point admet un voisinage sur lequel f est lipschitzienne (ce qui est le cas ici : f est lipschitzienne sur toute partie borné) alors f est continu partout.

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : EVN - Continuité 21-10-08 à 18:44

Oui effectivement...

Merci.


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