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EVN - Linéarité et continuité
Bonjour, j'ai quelques difficultés sur un exercice :
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Soit E un espace vectoriel normé et f une application additive bornée sur la boule unité de E. Montrer que f est linéaire et continue.
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Bon alors une fois que l'on montre que f est linéaire, alors elle est continue puisqu'elle est bornée sur la boule unité de E. En revanche comment montrer qu'elle est linéaire ? D'ailleurs qu'est-ce que l'on entend ici par fonction additive ? Il me semblait que le terme de fonction additive était réservé aux fonctions définies sur les entiers naturels...
Merci.
Bonjour puisea,
une fonction additive, c'est une fonction qui est telle que
quelque soient
et
dans
.
tu peux commencer par vérifier que f(tx)=tf(x) pour t dans IN puis dans Z, puis dans Q, puis dans IR, en espérant que ça marche.
Salut
romu >> Ca ne marchera pas sans hypothèse de continuité (je parle du passage délicat Q->R). Ici ça doit pouvoir se faire mais ça risque d'être moins trivial que prévu.
Montre puis utilise le fait que si le sup de f sur la boule unite c'est M alors le sup de f sur le boule de rayon p/q c'est p/q M
Utilise ca pour montrer aue f est continue en 0, puis conclut
Bonjour.
Euh Rodrigo, ce raisonnement permet de montrer que f est continue, mais mon problème est de montrer que f est linéaire, non ?
Sinon, pour les autres messages, je ne vois pas trop où vous voulez en venir avec votre "hypothèse de continuité", pourriez-vous proposer une solution ?
Merci.
Bonjour.
Montre d'abord que (donc en particulier,
)pour tout t rationnel, puis utilise la continuité de f pour conclure.
Bonjour Arkhnor.
Oui enfin je n'ai la continuité que si elle est linéaire.
Bon alors une fois que l'on montre que f est linéaire, alors elle est continue puisqu'elle est bornée sur la boule unité de E.
Rodrigo t'a indiqué comment montrer qu'elle était continue, sans utiliser la linéarité. (une fois que tu as la continuité en 0, c'est gagné)
Bon ok. Alors je commence par la continuité.
On sait que f est bornée sur la boule unité de E, donc le sup de f sur la boule unité existe. On pose alors
Je vais essayer de raisonner par contraposée :
On suppose que le sup de f sur la boule centrée en O de rayon p/q est différent de p/q*M.
Donc
Si on prend p = n et q = n+1, alors p/q tend vers 1, cela voudrait dire que
Ce qui n'est pas possible. Donc le sup de f sur la boule centrée en O de rayon p/q est inférieur ou égal à p/q*M. On montre de la même manière l'inégalité opposée. Et donc le sup de f sur la boule centrée en O de rayon p/q est égal à p/q*M.
Correct jusqu'ici ?
Bonjour ;
Histoire de rédiger l'idée de Rodrigo (que je salue au passage) 
:
Donnons nous ,
et notons
. Pour
on a
soit
l'inégalité bleue étant vraie pour tout rationnel on a aussi
et ainsi pour tous , en prenant
et en utilisant l'additivité de
, on voit que
ce qui garantit la continuité de
(le reste est facile sauf erreur bien entendu)
Bonjour,
Histoire de prolonger l'exercice :
Peut-on construire une fonction additive non continue de dans
?
Si elle existe elle sera donc non bornée sur tout compact.
Bonjour elhor,
Merci pour la rédaction !
J'imagine qu'il s'agit de
.
Cela permet de conclure sur la continuité, je suis d'accord.
le reste est facile
Alors je dois louper quelque chose...
Pour reprendre le message d'Arkhnor, il faut que je montre que l'on a :
pour tout t rationnel.
Dans le cas où t est un entier naturel, c'est bon.
Dans le cas où t est un entier relatif, c'est bon.
En revanche dans le cas où t est un rationnel, je vois pas vraiment. On peut écrire que t = p/q, mais je ne vois pas comment "sortir" le q.
Enfin, on aurait effectivement
Grace a la relation f(1) = f(p*1/p) = p*f(1/p), tu deduis la propriété pour les rationnels.
Ensuite, il suffit de remarquer que les rationnels sont denses dans R pour conclure. (caractérisation séquentielle de la continuité)
Pour la question subsidiaire de tringlarido (salut elhor et tringlarido ), c'est un classique, mais dur a imaginer si on ne l'a jamais rencontré.
Ok pour les rationnels...
J'imagine que ce que l'on entend par caractérisation séquentielle de la continuité a un rapport avec :
f est continue sur E ssi
Du coup, on utilise le fait que pour tout réel x il existe une suite de rationnel qui tend vers x.
On a donc f(tx)=tf(x) pour t réel. Et donc on a la linéarité.
C'est bien cela ?
Attention est ici un e.v.n réel donc l'écriture
risque de ne pas avoir de sens...
Par contre on peut écrire
Effectivement puisea ! une erreur de frappe 
Effectivement, j'ai raisonné avec les fonctions de R dans R
Mais l'idée était la, je voulais utiliser , avec x un vecteur de E, et p un entier.
Sinon, pour la continuité, pour t un réel, il existe une suite de rationnels convergeant vers t.
On a l'égalité .
Le premier terme tend vers f(tx), par continuité, et l'autre vers tf(x), donc nécessairement, on a f(tx) = tf(x). Réciproquement, les applications de cette forme sont solutions, et c'est fini.
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