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exercice sur un théorème d'Ascoli
Bonjour mon exercice est le suivant :
Soient I=]0,1[ ,
On note pour tout x de I ,
On désigne par H l'espace de Hilbert L²(I) muni du produit scalaire usuel. Si
1. Montrer que :
(R1)
(R2)
2. On suppose ici que, de plus K(x,y) = K(y,x) sur
3. On se propose de vérifier que A est un opérateur compact; on considère pour cela une suite (fn) convergeant faiblement vers un élément f de H.
(a) Etablir que :
(1)
(2)
J'ai réussi à démontrer sans difficultés les questions 1 et 2 et 3 (a) l'assertion (2). Par contre, j'ai du mal à démontrer l'assertion (1) :
(1)
je connais la définition de la convergence faible de (fn) vers f . Cela signifie que :
D'apres la question 1) on a :
Salut à tous
romu > c'est le contraire (convergence forte implique convergence faible et non le contraire). 
Kaiser
Bonsoir romu, ne serait-ce pas plutot la convergence forte qui implique la convergence faible? Et puis comme H n'est pas de dimension infinie on a pas l'équivalence pour conclure..
un_plus_un > pour l'assertion, il faut utiliser la définition de la convergence faible : la suite convergence faiblement donc pour tout forme linéaire l continue sur H, converge vers l(f).
Ici, pour x fixé, considère l'application . Que dire de cette application ?
Kaiser
c'est une forme linéaire continue .. ah ok moi en fait dans mon cours j'ai en fait la convergence faible de l(fn) vers l(f) mais avec l une application linéaire continue sur H et pas une forme lineaire.. ceci m'aide beaucoup merci 
Mais je t'en prie ! 
mais les applications linéaires que tu as dans la définition de convergence faible, elle vont de H dans H. Tu as vu la convergence faible dans n'importe quel espace ou alors seulement dans les espaces de Hilbert ?
Kaiser
Oui on l'as vu en analyse hilbertienne, et la définition de la convergence faible on la fait dans un espace de Hilbert et puis on a parlé aussi des espaces réflexifs, et non un espace quelconque comme un espace topologique comme j'ai pu le voir dans des bouquins d'analyse fonctionnelle, enfin ça c'est une UE du second semestre :p
par la suite , grâce à (1) et (2) on montre en utilisant le théorème de convergence dominée de Lebesgue que la suite (Afn) converge fortement vers Af dans H.
le dernière question est la suivante : Que peut-on dire de la décomposition spectrale (diagonalisation) de A?
J'ai trouvé ce théorème : Si H est un Hilbert et si u est une application de H dans H alors les valeurs propres de u sont réelles et il existe une base hilbertienne de H formée des vecteurs propres de u
Alors avec tout les éléments de mon exercice je devrai en déduire quelque chose mais encore faut-il tout mettre bien lol
Merci pour votre aide
Ici, il semblerait que toutes les conditions soient réunies pour appliquer ce résultat. De plus, si je me souviens bien, en ce qui concerne les valeurs propres, il s'agit d'une suite de complexes qui tend vers 0.
Kaiser
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