Pourquoi ? On ne le sait pas. d'ailleurs, c'est faux !
ça impliquerait quoi sur a, si ce que tu as écrit était vrai ?
Kaiser
Je reviens un peu plus haut :
j'ai fait la récurrence, donc est donc .
Toutes les racines sont simples, pourquoi cela implique que a exactement éléments ?
---
pour la première OK, pour le deuxième, ce n'est pas ça (on est censé trouvé a).
Essaie de détailler les étapes de ton calcul.
Kaiser
Alors .
Il faut montrer que dans ce cas ?
Mais p est premier si c'est pas 2, ok ça marche.
Dans le cas p=2 ?
1) Dans l'énoncé, on a supposé p supérieur à 3, donc le problème ne se pose pas.
2) Cela dit, ça marche même si p est égal à 2, car alors, on est en caractéristique 2 et donc dans ce cas, 1=-1.
Kaiser
c'est bien ça.
Ainsi, on peut appliquer le résultat de la question 2 et donc a/b est un élément de .
Kaiser
Tu peux reformuler la dernière ligne ? (il suffit de dire que b vérifie les mêmes propriétés que a et donc, d'après 2 b=ka).
Kaiser
message de 11h21 : pourquoi tu ne prends pas le même u où u est un élément de F qui qui n'est pas dans K mais dont le carré est dans K (on sait qu'il existe) ?
cela dit, ce n'est pas peut-être pas la peine de prendre un u car tu as déjà un élément sous la main qui vérifie ces propriétés (je veux parler de a).
Kaiser
a est un élément non nul de F qui n'est pas dans K mais dont le carré est dans K.
b vérifie la même chose donc d'après 2, b=ka avec k dans K.
Kaiser
Pourquoi veux-tu le montrer (même si c'est vrai) ?
ce n'est pas utile, on a déjà répondu à la question.
Kaiser
Non juste comme ça kaiser!
Je ne vois pas la démarche à adopter.
Si j'arrive à montrer que c'est bon ?
Ah oui non c'est bon.
Donc on a bien .
est une sous-extension de l'extension de degré 2.
On sait qu'il existe une et une seule sous-extension de degré 2 de cette dernière extension qui est donc .
De même .
Très bien.
Juste une question est-ce que si a désigne un élement de L où L/K est une extension et est un scalaire ?
oui.
L'inclusion gauche-droite est vraie car a+k=P(a) (avec P=X+k qui est bien à coefficient dans K), (donc tout polynôme en a+k est un polynôme en a) et l'inclusion droite-gauche est également vraie car a=Q(a+k) avec Q=X-k qui est bien à coefficients dans K (et donc tout polynôme en a est un polynôme en a+k).
Kaiser
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