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Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 10:35

Citation :
.Je ne comprend pas le x en puissance dans le deuxième membre de l'égalité.


faute de frappe, corrigée !

Sinon, c'est plutôt la solution de ton "ou alors" qu'il faut adopter.

Citation :
.Donc si on travaille sur l'extension \bar{K}/K, on définit les choses de manières unique, on ne dira plus que les corps sont isomorphes comme extension de K ?


oui

Citation :
On a bien \bar{\mathbb{F}}_p^*=\bar{\mathbb{F}}_p-\{0\} en fait ?


oui, et même pour n'importe quel corps.
Citation :
D'ou a^{p-1}=1 ou a^{p-1}=-1.


oui. Alors, à ton avis : 1 ou -1 ?


Citation :
En voulant utiliser cependant le raisonnement avec les ordres je n'aboutit pas, comment faire ?


Je ne vois pas trop comment : a priori, on ne sait pas où se trouve précisément a, donc je ne sais pas si raisonner sur les ordres donnera quelque chose.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 10:38

On sait que a^p=a donc c'est plutôt 1 non ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 10:40

Pourquoi ? On ne le sait pas. d'ailleurs, c'est faux !
ça impliquerait quoi sur a, si ce que tu as écrit était vrai ?


Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 10:46

Je reviens un peu plus haut :
j'ai fait la récurrence, donc \mathbb{F}_{p}\subset%20\mathbb{F}_{p^d} est car(\mathbb{F}_{p^d})=p donc P'(X)=-1.
Toutes les racines sont simples, pourquoi cela implique que \mathbb{F}_{p^d} a exactement p^d éléments ?
---

Citation :
ça impliquerait quoi sur a, si ce que tu as écrit était vrai ?


Que a est racine du polynôme X^p-X\in\mathbb{F}_p[X] ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 10:51

Citation :
Toutes les racines sont simples, pourquoi cela implique que \mathbb{F}_{p^d} a exactement p^d éléments ?


N'oublie pas que l'on s'est placé dans une clôture algébrique. Ainsi, tout polynôme non constant est scindé et possède donc autant de racines (comptées avec multiplicité) que son degré.
Ici, le polynôme est de degré p^d et ses racines sont simples, donc il a exactement p^d racines.

Citation :
Que a est racine du polynôme X^p-X\in\mathbb{F}_p[X] ?


oui, et quel est justement l'ensemble des racines de ce polynôme ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 10:57

Citation :
Ainsi, tout polynôme non constant est scindé et possède donc autant de racines (comptées avec multiplicité) que son degré.

C'est l'argument qui me manque, c'est parfait merci.

Citation :
oui, et quel est justement l'ensemble des racines de ce polynôme ?

C'est \mathbb{F}_{p^1}=\mathbb{F}_p ?

Mais a n'est pas dans \mathbb{F}_p donc a^{p-1}=-1 ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 10:59

Oui, c'est bien ça.

A présent, dis moi ce que vaut \Large{a^p}, ainsi que \Large{a^{(p^2)}}.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 11:02

Donc je trouve a^p=-a et a^{p^2}=-a.

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 11:03

pour la première OK, pour le deuxième, ce n'est pas ça (on est censé trouvé a).

Essaie de détailler les étapes de ton calcul.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 11:07

Alors a^{p^2}=(a^p)^p=(-a)^p=(-1)^pa^p=(-1)^p(-a)=-(-1)^pa.

Il faut montrer que -(-1)^p=1 dans ce cas ?
Mais p est premier si c'est pas 2, ok ça marche.
Dans le cas p=2 ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 11:10


1) Dans l'énoncé, on a supposé p supérieur à 3, donc le problème ne se pose pas.

2) Cela dit, ça marche même si p est égal à 2, car alors, on est en caractéristique 2 et donc dans ce cas, 1=-1.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 11:14

Ok!
Donc a^p=-a et a^{p^2}=a

donc a est racine X^{p^2}-X\in\mathbb{F}_p[X] ce qui montre bien que a est dans \mathbb{F}_{p^2} ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 11:16

c'est bien ça.
Ainsi, on peut appliquer le résultat de la question 2 et donc a/b est un élément de \Large{\mathbb{F}_p}.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 11:18

Si on prend a dans \bar{\mathbb{F}}_p^*, a\notin \mathbb{F}_p et a^2\in\mathbb{F}_p alors on a montré que a\in\mathbb{F}_{p^2}.

On prend donc K=\mathbb{F}_p et F=\mathbb{F}_{p^2}.
D'après 2), a\in\mathbb{F}_{p^2} ssi a=kb avec k\in\mathbb{F}_p^*.

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 11:21

J'ai pas pris de bonne notation :

a=ku avec k\in\mathbb{F}_p^* et u\in\mathbb{F}_{p^2}.

De même :
b=k'u' avec k'\in\mathbb{F}_p^* et u'\in\mathbb{F}_{p^2}.

Donc a/b=(k/k').(u/u') non ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 11:23

Tu peux reformuler la dernière ligne ? (il suffit de dire que b vérifie les mêmes propriétés que a et donc, d'après 2 b=ka).

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 11:26

message de 11h21 : pourquoi tu ne prends pas le même u où u est un élément de F qui qui n'est pas dans K mais dont le carré est dans K (on sait qu'il existe) ?
cela dit, ce n'est pas peut-être pas la peine de prendre un u car tu as déjà un élément sous la main qui vérifie ces propriétés (je veux parler de a).

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 11:27

Comment ça ?

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 11:28

Citation :
pourquoi tu ne prends pas le même u


A priori ce n'est pas le même u ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 11:30

a est un élément non nul de F qui n'est pas dans K mais dont le carré est dans K.
b vérifie la même chose donc d'après 2, b=ka avec k dans K.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 11:32

Citation :
A priori ce n'est pas le même u ?


mais tu peux (et il faut) prendre le même (d'après 1), il existe u un élément de F qui n'est pas dans K mais dont le carré est dans K. a et b vérifient la même chose donc il existe k et k' des éléments non nuls de K tels que a=ku et b=k'u.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 11:35

Pourquoi d'après le 1) ?
Car {1,u} est une base ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 11:41

Citation :
Pourquoi d'après le 1) ?


voir la première ligne de la question 1) :

Citation :
1/ Montrer qu'il existe u\in%20F^*,u\notin%20K tel que u^2\in%20K


ensuite, on prend ce u et pas un autre.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 11:43

Ok.

Pour finir, on peut montrer que \mathbb{F}_{p^2}=\mathbb{F}_p[a]=\mathbb{F}_p[b] ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 11:57

Pourquoi veux-tu le montrer (même si c'est vrai) ?
ce n'est pas utile, on a déjà répondu à la question.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 11:59

Non juste comme ça kaiser!
Je ne vois pas la démarche à adopter.

Si j'arrive à montrer que [\mathbb{F}_p[a]:\mathbb{F}_p]=[\mathbb{F}_p[b]:\mathbb{F}_p]=2 c'est bon ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 12:06

En fait, tu l'as déjà montré : voir message posté le 24/02/2008 à 23:56

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 12:08

On prend dans ce cas F=K=\mathbb{F}_p ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 12:09

pourquoi la première égalité ?

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 12:13

Je vais déjeuner.
À tout à l'heure.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 12:14

Ah oui non c'est bon.
Donc on a bien [\mathbb{F}_p[a]:\mathbb{F}_p]=[\mathbb{F}_p[b]:\mathbb{F}_p]=2.

\mathbb{F}_p[a]/\mathbb{F}_p est une sous-extension de l'extension \bar{\mathbb{F}_p}/\mathbb{F}_p de degré 2.
On sait qu'il existe une et une seule sous-extension de degré 2 de cette dernière extension qui est \mathbb{F}_{p^2} donc \mathbb{F}_{p^2}=\mathbb{F}_p[a].

De même \mathbb{F}_{p^2}=\mathbb{F}_p[b].

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 12:14

Je vais aussi déjeuner!

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 13:29

oui, c'est bien ça, et l'exo est fini.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 13:34

Très bien.
Juste une question est-ce que K[a+k]=K[a] si a désigne un élement de L où L/K est une extension et k\in K est un scalaire ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Extension quadratique 25-02-08 à 13:39

oui.

L'inclusion gauche-droite est vraie car a+k=P(a) (avec P=X+k qui est bien à coefficient dans K), (donc tout polynôme en a+k est un polynôme en a) et l'inclusion droite-gauche est également vraie car a=Q(a+k) avec Q=X-k qui est bien à coefficients dans K (et donc tout polynôme en a est un polynôme en a+k).

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Extension quadratique 25-02-08 à 13:46

Ok.
Je poste un autre exercice kaiser!

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