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fermé borné non compact

Posté par
robby3 02-11-08 à 15:55

Bonjour tout le monde,
en lisant un truc,j'ai vu ça...

Soit: \rm (\matbb{Q},|.|) ou d(r,s)=|r-s|
on considere F=\{r\in \mathbb{Q},2\le r^2\le 3\} alors pour la métrique définie,F est un fermé bornée qui n'est pas un compact.


>>je vois que F est un fermé: F=\mathbb{Q}\cup [\sqrt{2},\sqrt{3}]
F est bornée car \subset [\sqrt{2},\sqrt{3}].
je veux montrer qu'il n'est pas compact,s'il l'était,je pourrais trouver une sous-suite dans \mathbb{Q}(il en existe par densité de \mathbb{Q} dans \mathbb{R}) tel que \sqrt{2}\le r_n\le \sqrt{2}+\frac{1}{n} qui n'a pas de valeur d'adhérence dans F.

par construction de r_n,j'ai r_n\longrightarrow \sqrt{2}
or \sqrt{2}+\frac{1}{n}\le \sqrt{3} \Longrightarrow b\ge 3,1
donc (r_n)_{n\ge 4}\in F et \longrightarrow \sqrt{2}\in \mathbb{R}
la conclusion me vient pas,je me suis perdu en route j'ai l'impression?!

une idée pour m'éclairer?

Posté par
jeansebre : fermé borné non compact 02-11-08 à 16:32

Salut Robby

j'ai pas compris ton raisonnement après rn ----> 2

Le théorème des gendarmes (dans IR) dit que rn tend vers 2 , donc ta suite a une limite dans IR qui est sa seule valeur d'adhérence, mais comme elle n'appartient pas à F, cette suite n'a pas de valeur d'adhérence dans F.

Donc F n'est pas compact puisqu'il ne satisfait pas à B.W.

Sauf erreur

Posté par
robby3re : fermé borné non compact 02-11-08 à 16:33

D'accord,merci Jeanseb!

Posté par
jeansebre : fermé borné non compact 02-11-08 à 16:34


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