Bonjour,

Cela dépend de la définition qui t'est donnée de la frontière.
Par exemple, dans le cours de Choquet :
Frontière(A) = Adhérence(A) Adhérence(A^c)
Avec cette définition, ta propriété est immédiate

Il y a plusieurs autres définitions, par exemple :
Frontière(A) = (Intérieur(A) Intérieur(A^c))^c
qui est déduite de la précédente

Frontière(A) = Adhérence(A)-Intérieur(A)
qui perd la symétrie entre A et A^c

Toutes ces définitions sont en réalité équivalentes, il faudrait savoir laquelle tu utilises pour donner une preuve adaptée.

salut!
moi j'utilise fr(A) = adh(A)\int(A)

so what is the demonstration please?!

Le plus simple est déduire de ta définition la propriété :
Fr(A) = Adh(A) Adh(A^c)
C'est immédiat en se souvenant que Int(A)^c = Adh(A^c), donc
x Fr(A) x Adh(A)/Int(A) x Adh(A) Int(A)^c x Adh(A) Adh(A^c)
On peut alors revenir à ta question de départ :
Fr(A^c) = Adh(A^c) Adh((A^c)^c)
Mais (A^c)^c = A, donc Fr(A^c) = Adh(A^c) Adh(A) = Fr(A)
Tu remarques qu'à aucun moment on a utilisé la norme sur X, la propriété s'étend largement au-delà des espaces normés...

oki merci pour la demo

C'en est une, y a peut-être plus simple, mais la question que tu as posée étant essentiellement symétrique, il m'a paru que se ramener à la forme symétrique de la définition était une voie possible...

Bonne nuit !