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groupes topologiques non séparés et filtres de Cauchy
Merci à qui pourra m'aider.
J'ai vu qu'un groupe topologique G pour lequel il existe un système fondamental dénombrable
de voisinages fermés de l 'élément neutre du groupe vérifie:
Si toute suite de Cauchy converge dans G alors tout filtre de Cauchy converge .(G non nécessairement séparé).
Peut-on trouver un exemple simple de groupe topologique pour lequel toute suite de Cauchy
est convergente ,mais "possédant"des filtres de Cauchy non convergents ?
Bonjour
Bien sur je n'ai pas ça en stock comme ça! Néanmoins je sais que le mot clé est "dénombrable" dans les hypothèses. Donc pour avoir un contrexemple il faut regarder dans un espace non métrisable. Le plus "simple" est l'ensemble des fonctions de [0,1] dans R muni de la topologie de la convergence simple (c'est la topologie produit de ) et ceci muni de l'addition est bien un groupe topologique (séparé)... C'est donc là que je commencerais à regarder...
Bonjour Camélia. Merci pour ta suggestion ,mais je voudrais un exemple dans un groupe non séparé.
Cordialement
Des groupes topologiques non séparés se trouvent en quotientant par un sous-groupe non fermé... Mais au delà ça dépasse mes compétences!
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