Salut

1)Si on se place sur R, ce qui semble être le cas ici, alors oui [0,1] est un segment donc fermé et pas ouvert.
"qui dit fermé dit intervalle fermé" Surement pas! [-1,0]U[2,3] est un fermé de R, ce n'est certainement pas un intervalle fermé.
"Et l'intérieur pourquoi l'ensemble vide? Car dans l'intervalle [0,1] on a 0.1, 0.12345, etc........, c'est pas vide" Ca n'a rien à voir avec [0,1], ça a avoir avec Q. Q n'est voisinage d'aucun de ses points puisque R\Q est dense dans R. Q ne contient pas d'ouverts non vide, son intérieur est donc vide et a fortiori celui de Q inter ]0,1[.

2) P'tet parce que 0 est adhérent à A...
Pour l'intérieur c'est pareil que pour ci dessus.

Salut 1 Schumi 1

J'ai compris le 1)., mais désolée j'ai pas compris le 2) avec l'intérieur pourquoi le vide ?

"qui dit fermé dit intervalle fermé" , merci pour ton exemple

3). A = {sin(1/n) / n^*}
=> Adh(A) = A {0} et int(A) =

Pourquoi adhérence contient le 0 ? est-ce que si par exemple on prend n = 1, sin(1) = 0.8414709848, c'est l'élément maximale de A, donc 0 < sin(1), c'est donc un élément de A, c'est pour ça ?
Pourquoi l'intérieur de A est il vide ?

Merci d'avance pour tes explications

C'est quoi cette histoire avec l'élément maximal? Ca n'a strictement rien à voir! 0 est adhérent à A car il existe une suite déléments de A qui converge vers 0, tout simplement.

Pour l'intérieur, c'est évident puisque A n'est voisinage d'aucun de ses points!

Tu prends un élément de A. Il est seul ton élément, il n'y aucun autre élément de A dans un voisinage assez proche de ton élément. Donc en fait, A ne possède aucun ouvert. Bah donc, le plus grand ouvert contenu dans A c'est l'ensemble vide.

Ok ! j'ai revu les définitions et c'est vraiment évident que tous ces intérieurs sont vides, désolée, et merci schumi pour ton insistance, c'est sympa, c'est ce mot "voisinage" qui m'a aidé a comprendre

Encore quelques questions stp:

a). A = {sin(n) / n^*}
adh(A) = [-1,1]

sin(n) oscille entre -1 et 1 (au niveau de l'axe des ordonées) c'est pour ceci ?

b). A = {(x,y) / x²+y² = 1}
int(A) =
pourquoi ? on pourrait prendre la boule ouverte de rayon 1 ? ie B^o(x,1), c'est le plus grand des ouverts du cercle fermé de rayon 1.
Mais x²+y² = 1 est ce que c'est juste le bord du cercle de rayon 1, ou le cercle plein + le bord ?

Merci pour tes explications c'est sympa

a) "sin(n) oscille entre -1 et 1 (au niveau de l'axe des ordonées) c'est pour ceci ?" Non, c'est pas pour ça. Ca vient d'un résultat très classique qui affirme que {sin(n), n entier} est dense dans [-1,1]. C'est pas triviale, mais c'est loin d'être monstrueux.
Donc ben, par définition de la densité, l'adhérence de A c'est [-1,1].

b) "Mais x²+y² = 1 est ce que c'est juste le bord du cercle de rayon 1, ou le cercle plein + le bord ?" D'après toi? Fais un dessin, tu verras.

Ah oui, bien vu pour la a), je ne savais pas.
Oui, c'est vrai que c'est trivial merci

D'aprés moi, je dirai cercle plein + bord (en fait le " = " me fais penser à la sphère d'où mon hésitation)

Ah? Parce que pour toi le centre vérifie x²+y²=1? Pour moi 0²+0²=0...

j'avais une chance sur 2

Oui, tu as tout à fais raison , donc c'est juste un cercle de centre 1 et on a seulement le bord (la frontière en faite), donc c'est pour ceci qu'on a l'ensemble vide alors.

Si le cercle aurait été plein, est-ce que l'intérieur serait encore le vide ou la boule ouverte B^o (a,1) ?

Ca aurait été la boule ouvert évidemment.

Ok, merci Schumi pour ton aide et tes explications, j'ai tout compris à présent, c'est sympa

Bonne fin d'aprem

Pas de quoi.