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Intersection infinie de boules ouvertes

Posté par
Leoninie 11-04-24 à 18:43

Bonjour à tous,

Je fais un exercice de topologie, et je ne comprends pas une étape du calcul.
Je considère une boule ouverte de rayon n/n+1 et de centre a. J'en cherche l'intersection.
La correction dit que c'est égal à l'ensemble des x appartenant à l'espace vectoriel normé considéré, tel que, pour tout n, la distance de (x-a est inférieure strictement à n/n+1.

Jusque là, je ne suis pas perdue.

Seulement, la ligne suivante enleve le pour tout n, et remplace l'inégalité stricte par une inegalité large. Je ne comprends pas ces deux remplacements...

Je vous remercie d'avance.

Posté par
carpediemre : Intersection infinie de boules ouvertes 11-04-24 à 18:59

salut

au lieu de nous raconter un semblant de texte si tu nous donnais exactement les trois-quatre ligne ?

ensuite on peut remarquer que la suite n --> n/(n + 1) est croissante ...

Posté par
Leoniniere : Intersection infinie de boules ouvertes 11-04-24 à 19:30

Voici les quelques lignes :

{\bigcap_{n=1}^{infini}}B = \left\{x \epsilon E ; ||x-a||\prec 1+\frac{1}{n} \right\} =\left\{ x\epsilon E;||x-a||\leq 1 \right\}

Merci !

Posté par
carpediemre : Intersection infinie de boules ouvertes 11-04-24 à 20:34

ben déjà c'est plus le même rayon !!

ensuite

Leoninie @ 11-04-2024 à 19:30

{\bigcap_{n=1}^{infini}}B = {\red \bigcap _1^\infty }\left\{x \epsilon E ; ||x-a||\prec 1+\frac{1}{n} \right\} =\left\{ x\epsilon E;||x-a||\leq 1 \right\}


et si B_n = \{ x \in E  /  ||x - a| < 1 + \frac 1 n \} alors il est évident que que B_{n + 1} \subset B_n

donc \bigcap_1^\infty B_n = \lim_{n \to \+infty} B_n = B_F (a, 1) boule fermée de rayon 1

puisqu'en passant à la limite une inégalité stricte devient large et \lim 1 + \dfrac 1 n = 1

Posté par
Leoniniere : Intersection infinie de boules ouvertes 11-04-24 à 22:24

L'accolade est égale à B de rayon n+1/n, désolée je ne l'ai pas noté...

Posté par
Leoniniere : Intersection infinie de boules ouvertes 12-04-24 à 09:39

Mais je suis également confrontée au problème de l'union infinie des boules fermées de rayon n/n+1. Cette fois ci, l'inégalité large devient stricte. Pourquoi ?

Je vous remercie

Posté par
luzakre : Intersection infinie de boules ouvertes 12-04-24 à 10:21

Bonjour !
n+1/n sans parenthèses  ou (n+1)/n=1+\dfrac1n ce n'est pas la même chose !
Et ce n'est pas non plus n/n+1 (comme dans ton premier message) qui vaut 2 sans parenthèses.

Posté par
Leoniniere : Intersection infinie de boules ouvertes 12-04-24 à 10:32

Avec parenthèses pour les deux, désolée

Posté par
Leoniniere : Intersection infinie de boules ouvertes 12-04-24 à 14:52

Du coup, quelqu'un pourrait il m'expliquer s'il vous plaît ?

Merci d'avance

Posté par
carpediemre : Intersection infinie de boules ouvertes 12-04-24 à 19:14

adapter ma réponse de 20h34 ...

Posté par
luzakre : Intersection infinie de boules ouvertes 13-04-24 à 08:41

Je veux bien t'expliquer si tu fais l'effort d'écrire correctement les rayons des boules ainsi que leur statut ouvert, fermé : ne pas faire deux énoncés qui se ressemblent en même temps.


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