Salut

Eh bien l'intervalle [a,b[ est ouvert à droite fermé à gauche non?

le prof nous a dit que R etait fermé et ouvert!!
comment ça se fait?

Bonjour,

comment tu définis un ouvert de IR, comment tu définis un fermé de IR?

Il faut quand même préciser qu'il est ouvert et fermé dans lui même !

Bonjour à tous

Je m'insère dans votre discution car j'ai été moi-même surpris quand j'ai entendu ça.

Le prof nous a donné les définitions suivantes: un intervalle est ouvert si c'est un ouvert et un intervalle est fermé s'il est fermé.

Ainsi, est à la fois un intervalle ouvert et fermé.

Dans les classes de lycée où toute notion de topologie est exclue, on donne (?) alors exhaustivement la liste des intervalles ouverts et la liste des intervalles fermés.

Bonjour,
Ca depend ce qu'on appelle ouvert et fermé (i.e) ouvert et fermé dans quoi?
Si l'on se place avec comme espace de base R muni de sa topologie usuelle, alors oui R y est ouvert et fermé, le vide aussi et ce sont les seuls...
Pourquoi est ce que R est ouvert? Ben il est reunion de toutes les boules ouvertes qu'il contient. Pourquoi est il fermé? Parce qu'il est le complementaire du vide qui est ouvert...Ou parce que tout suite convergent dans R converge...dans R.

Montrer que ce sont les seuls n'est pas beaucoup plus difficile...

Bonjour

Là je m'insinue... Bien sur le mot clé est dans quoi!

Voilà un exemple: Si l'espace est E=[0,1]]1,2] muni de la distance habituelle, je vous laisse le plaisir de démontrer que [0,1] et ]1,2] sont des intervalles ouverts et fermés dans E.

Mais je vous rassure: les seuls intervalles ouverts et fermés de R sont et R. (ce sont même les seules parties ouvertes et fermées).

D'où la connexité de R d'ailleurs

>Jord _{Faut pas dire de gros mots trop tôt!}

Bonjour à tous

bonjour
bon je relance le sujet parce que je crois avoir trouvé un intervalle ouvert et fermé en même temps et je voudrais vérifier si c est correct ou pas..
voilà pour un intervalle [a,b] de ;
1) il existe une partie U:=]c,d[ ouverte relative à (avec ca et db donc [a,b]U)
telle que  [a,b]=U[a,b]
donc [a,b] est un ouvert relatif à [a,b]
2) il existe une partie U:=[c,d] fermée relative à (avec ca et db donc [a,b]U)
telle que  [a,b]=U[a,b]
donc [a,b] est un fermé relatif à [a,b]

et donc [a,b] est un ouvert et un fermé (en même temps) relativement à [a,b]
mais n'est qu'un fermé relativement à

mais si ce là est vrai n'est ce pas plutôt parce que pour tout ensemble les seuls parties fermées et ouvertes en même temps sont le vide et lui même?? et donc ici c est comme si j avais considérais [a,b] "à lui seul" comme un espace métrique et non pas comme étant une partie de ??

Bonjour

oui oui je suis d'accord bien sur
comme pour l'exemple que j'avais donné; tout intervalle fermé de est un ouvert et un fermé relativement à lui même et un fermé relativement à
en fait j'ai pas bien présenté l'idée, je la reformule (ou plutôt la complète)
"parce que pour tout ensemble les seuls parties fermées et ouvertes en même temps relativement à lui même sont le vide et lui même"
est-ce correct ainsi?

"parce que pour tout ensemble les seuls parties fermées et ouvertes en même temps relativement à lui même sont le vide et lui même"
est-ce correct ainsi?
Non c'est clairement faux, il suffit de prendre un ensemble disconnexe.
Par exemple E=[0,1]U[2,3]

Dans E, l'ensemble [0,1] est ouvert et fermé.

En fait ca a déjà été dit.
Je ne comprend pas ce que tu essaies de formuler ...

en utilisant ce raisonnement je suis arrivée à une absurdité dans une démonstration donc c'était juste pour savoir où était l'erreur
et en fait j'avais effectivement appliqué ce raisonnement (que j'avais fait pour un intervalle de ) pour une partie qui n'est pas connexe
bref j'ai retrouvé mon erreur là et surtout je ne risque plus de refaire cette erreur!!

Voilà une bonne nouvelle!
A+