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Niveau Maths sup
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les complexes

Posté par
plefly 22-10-09 à 21:08

Bonsoir,
Je n'arrive pas à faire cet exercice car je ne sais pas quelle méthode utiliser.
Pourriez vous m'aider svp?

Soit (x;y;z)^3  tel que z=x+iy
Montrer que /z/^2 = x^2 + y^2 ( (x;y)^2 ou z=0)

Merci beaucoup !!

ps: / est la valeur absolue

Posté par
Narhmre : les complexes 22-10-09 à 21:26

Bonjour,

Tout d'abord il y a un sens qui est trivial non ? Lequel ?

Posté par
pleflyre : les complexes 22-10-09 à 21:34

oui le sens de droite à gauche est évident mais je ne sais pas comment le démontrer

Posté par
Narhmre : les complexes 22-10-09 à 21:36

Et bien : si x,y sont réels, alors z=x+iy est sous forme algébrique et tu sais calculer son module non ?

Posté par
pleflyre : les complexes 22-10-09 à 21:39

oui en mettant le module au carré on trouve exactement ce qu'il faut trouver.
Mais pourquoi y a t-il "ou z=0" ?

Merci de votre aide =)

Posté par
Narhmre : les complexes 22-10-09 à 21:42

Parce que x et y sont des complexes et non des réels.
Si z=0, a-t-on bien le résultat au sujet de |z|^2 ?

Posté par
pleflyre : les complexes 22-10-09 à 21:46

oui ça marche

Posté par
Narhmre : les complexes 22-10-09 à 21:48

Ok, donc on a bien démontrer l'implication : 3$ \Leftarrow, oui ?

Maintenant, montrons l'autre implication : .
Comment exprimes tu le module d'un nombre complexe en fonction de son conjugué ?

Posté par
pleflyre : les complexes 22-10-09 à 21:54

d'accord pour la première implication merci =)

Pour la deuxième, je sais que /z/^2= z z(barre)

Posté par
Narhmre : les complexes 22-10-09 à 21:55

Oui c'est ça.
Maintenant va plus loin, développe un peu l'idée: |z|^2=zz(barre)=(x+iy)(...)=...

Posté par
pleflyre : les complexes 22-10-09 à 21:58

/z/^2 = (x+iy)(x-iy) = x^2 -iyx +iyx + y^2 =x^2+y^2 Or ce résultat est un réel donc (x;y) ^2   (?)

Posté par
Narhmre : les complexes 22-10-09 à 21:59

Ah ! x et y sont des COMPLEXES !
Quel est le conjugué de z ?

Posté par
pleflyre : les complexes 22-10-09 à 22:04

le conjugué de z, c'est zbarre donc (x-iy)

Posté par
Narhmre : les complexes 22-10-09 à 22:11

Non.
On se met d'accord une fois pour toute : x et y ne sont pas necessairement réels !
Je te donne un exemple pour t'en convaincre que c'est possible : prends x=1+i, et y=1-i, alors z=1+i+i(1-i)=1+i+i+1=2+2i, et z(bar)=2-2i qui est différent de x-iy=1+i-i(1-i)1+i-i-1=0. Ok ?

On ne sait rien de x, ni de y. Moi j'ai envi de dire tout simplement que le conjugué de x c'est x(bar)
Réécris alors |z|^2=zz(bar) correctement.

Posté par
pleflyre : les complexes 22-10-09 à 22:18

d'accord alors:

/z/^2= (x+iy)(x(bar)+iy(bar))

Mais le conjugué d'une somme n'est pas égale au conjugué de ses termes si?

Posté par
pleflyre : les complexes 22-10-09 à 22:19

ah si j'ai rien dit =)

Posté par
Narhmre : les complexes 22-10-09 à 22:20

Attention il faut bien apprendre ton cours.

Par contre c'est toujours faux. Le conjugué de 3$ \rm iy n'est pas 3$ \rm i\bar{y} !

Posté par
pleflyre : les complexes 22-10-09 à 22:25

c'est -iy  ?

Posté par
Narhmre : les complexes 22-10-09 à 22:27

Non.
3$ \bar{zz'}=\bar{z}\bar{z'} pour tout nombre complexe z, z'.

Posté par
pleflyre : les complexes 22-10-09 à 22:29

d'accord,
i et y sont des complexes donc le conjugué de iy est i(bar)y(bar)
c'est ça?

Posté par
Narhmre : les complexes 22-10-09 à 22:30

Non.
Le conjugué de i c'est quoi ?

Posté par
pleflyre : les complexes 22-10-09 à 22:33

c'est -i non?

Posté par
Narhmre : les complexes 22-10-09 à 22:34

Oui.
-> Le conjugué de a+ib c'est a-ib !

Bien alors, que vaut zz(bar) sans erreur cette fois ci ?

Posté par
Narhmre : les complexes 22-10-09 à 22:34

Citation :
-> Le conjugué de a+ib c'est a-ib !

avec a et b des réels.

Posté par
pleflyre : les complexes 22-10-09 à 22:42

Euh je ne comprends pas.
zz(bar) = (x+iy) (x(bar)+i(bar)y(bar)=(x+iy) (x(bar)-y(bar))

Je m'embrouille

Posté par
pleflyre : les complexes 22-10-09 à 22:43

zz(bar) = (x+iy) (x(bar)+i(bar)y(bar)=(x+iy) (x(bar)-iy(bar))
J'avais oublié le i pardon

Posté par
pleflyre : les complexes 22-10-09 à 22:46

Je suis sure que c'est tout simple mais je ne sais plus où donner de la tête =(

Posté par
Narhmre : les complexes 22-10-09 à 22:47

Oui c'est ca.
Je reprends pour que tout soit claire :
Si x est un nombre complexe, alors on peut écrire x=a+ib avec a et b réels. Dans ce cas on a que le conjugué de x est a-ib. C'est du cous ca.

Nous on considere le nombre complexe z=x+iy, avec x et y des complexes ( et non des réels encore une fois !). Alors on a ( cf ton cours ) :
3$ \rm |z|^2 =z\bar{z}=(x+iy)\bar{z}=(x+iy)(\bar{x+iy})=(x+iy)(\bar{x}+\bar{(iy)})=(x+iy)(\bar{x}-i\bar{y}) car 3$ \bar{zz^'}=\bar{z}\bar{z^'} \text{ et } \bar{z+z'}=\bar{z}+\bar{z^'} pour tout nombre complexe z et z'.
Ok ?

Posté par
Narhmre : les complexes 22-10-09 à 22:49

Si tout est bon, développe un peu l'expression.
Ensuite comme on veut montrer l'implication , on a par hypothese que 3$ |z|^2=x^2+y^2.
Qu'obtiens-tu ?

Posté par
pleflyre : les complexes 22-10-09 à 22:50

Oui d'accord la j'ai compris

Posté par
pleflyre : les complexes 22-10-09 à 22:54

Ok alors on obtient:

=xx(bar) + yy(bar) + iyx(bar) - ixy(bar)
=/x/^2 + /y/^2

Posté par
Narhmre : les complexes 22-10-09 à 22:56

Heu, dans ton énoncé il ne s'agit de pas |x|^2 mais de x^2.
C'est bien ca non ?

Posté par
pleflyre : les complexes 22-10-09 à 22:57

oui c'est ca
mais xx(bar)= /x/^2 non? vu que x est un complexe

Posté par
Narhmre : les complexes 22-10-09 à 22:58

Oui ca c'est vrai, mais ton égalité est fausse elle par contre.

Posté par
pleflyre : les complexes 22-10-09 à 23:00

ah oui j'ai oublié:
= /x/^2 +/y/^2 +i (yx(bar)-xy(bar))

Posté par
Narhmre : les complexes 22-10-09 à 23:01

Si on suppose que 3$ |z|^2=x^2+y^2, alors avec ce qu'on vient de voir, on obtient que :
3$ |z|^2=z\bar{z}=x\bar{x}+y\bar{y}+iy\bar{x}-i\bar{y}x=x^2+y^2 n'est ce pas ?

Posté par
Narhmre : les complexes 22-10-09 à 23:02

Ok.
Si tu veux bien on va garder mon écriture avec x et x bar etc au lieu de |x|^2.
Ca va nous servir pour la suite.

Une petite question, si z est un nombre complexe que vaut 3$ \rm \Re e(z) \text{ et } \Im m(z)  en fonction de z et son conjugué ?

Posté par
pleflyre : les complexes 22-10-09 à 23:03

oui d'accord

Posté par
pleflyre : les complexes 22-10-09 à 23:06

alors,
Re(z)= (z+z(bar))/2
Im(z)= (z-z(bar))/2

Posté par
Narhmre : les complexes 22-10-09 à 23:08

C'est ca. Servons nous en.
Dans la derniere equation établie, passe tout du meme coté et mais en évidence des parties réelles et imaginaires.

Posté par
pleflyre : les complexes 22-10-09 à 23:12

oula! je suis perdue

Posté par
pleflyre : les complexes 22-10-09 à 23:14

En fait, je ne sais pas trop où cela est censé nous mener donc j'ai du mal à raisonner

Posté par
Narhmre : les complexes 22-10-09 à 23:16

3$ x\bar{x}+y\bar{y}+iy\bar{x}-i\bar{y}x=x^2+y^2 \Longleftrightarrow x(\bar{x}-x)+y(\bar{y}-y)=-iy\bar{x}+i\bar{y}x=Z+\bar{Z}
avec 3$ Z=iy\bar{x}.

Oui je comprends bien que tu te perdes, mais c'est pas évident de te mener au bout comme ca.
Mon but est d'arriver à avoir x et y réels, c'est à dire Im(x)=Im(y)=0. Pour ca, on va montrer que Im(x)^2+Im(y)^2=0. D'accord ?

Posté par
pleflyre : les complexes 22-10-09 à 23:17

on a xx(bar)+ yy(bar) + i(xy(bar)-yx(bar)) -x^2 -y^2 =0
donc Re(z) =xx(bar) + yy(bar) -x^2 -y^2
Im(z)= i(xy(bar)-yx(bar))

c'est ça?

Posté par
pleflyre : les complexes 22-10-09 à 23:18

Ah pardon je n'avais pas vu votre réponse
d'accord

Posté par
Narhmre : les complexes 22-10-09 à 23:19

J'ai fait une petite erreur de signe en écrivant :
3$ \text{blabla} = -(Z+\bar{Z})

Posté par
pleflyre : les complexes 22-10-09 à 23:22

d'accord

Posté par
Narhmre : les complexes 22-10-09 à 23:22

Alors, en utilisant les parties réelles et imaginaires tu arrives à quelque chose d'un peu plus simple non ?

Posté par
pleflyre : les complexes 22-10-09 à 23:27

Je vois à peu prés ce que vous voulez dire mais c'est encore flou

Posté par
Narhmre : les complexes 22-10-09 à 23:29

Allez, courage !
3$ Z+\bar{Z}=2\Re e(Z), \ -(x-\bar{x})=-2i\Im m(x), \ \cdots

A quoi on arrive en faisant ca ?

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