Bonsoir.

f est défini de où vers où ?

En quoi est une contradiction ?
Si tu veux montrer qu'une application n'est pas lipschitzienne, tu n'y arriveras pas en t'intéressant au cas où x = y, puisque l'inégalité est toujours vérifiée dans ce cas là.

Bonsoir merci de m'aider ^^

f,)(,d)
définie par f(x)=x pour tout x

Je ne vois pas comment arriver à une contradiction sans utiliser la définition ??

Il faut utiliser la définition !

Ecris en terme de quantificateurs ce que tu dois montrer.

f n'est pas lipschitzienne ie:K > 0 d(x,y)> K (x,y)

bonsoir, ça a l'air évident.....


soit K un réel positif.

on n'a pas pour toust couple x,y
d(f(x) ;f(y)) < K delta (y; x)

il suffit que |x-y| < 1/K

Bonsoir esta-fette ^^
Je ne vois pas très bien pourrais-tu m'expliquer stp ^^

Non, c'est faux, il manque des quantificateurs ! Qui sont x et y ??

x et y

Toujours les quantificateurs, c'est pour tout x et y, c'est il existe x et il existe y, c'est un mélange des deux ?

Tant que tu n'écriras pas précisément les choses, tu n'avanceras pas.

Ahh je pense avoir compris si x=0 et y=1/2 d(x,y)=1/2 et (x,y)=1
donc: 1/2 > K * 1 avec K > 0 impossible on arrive à une contradiction
c'est ça ??

Avec ton idée, si je prend K = 1/100, il n'y a pas de contradiction, ton choix du couple (x,y) doit dépendre de K ...

Donc je reprends:
K > 0, x,y tel que d(x,y)> K (x,y)

Si x = y alors d(x,y) = 0 et (x,y) = 1

=> 0 > K contradiction avec l'hypothèse K > 0

C'est ça ??

Bien !

Maintenant, pour K fixé, on doit trouver un couple qui vérifie ton inégalité.
On peut déjà chercher du côté des couples où , et donc dans ce cas .
Est-ce que ça ne simplifie pas un peu les choses ?

Si alors , par définition de la distance discrète ...

oui oui désolé

si xy alors d(x,y) > K > 0 c'est toujours vrai

Qu'est-ce qui te permet de dire ça ? Je peux toujours prendre x et y distincts et de distance inférieure à K ...

ce qui me permet de dire ceci est que pour xy (x,y) = 1

Ecris ta démonstration en entier.

Pour tout K > 0, x,y tel que d(x,y)> K (x,y)

Si x = y alors d(x,y) = 0 et (x,y) = 0
=> 0 > K * 0 contradiction avec l'hypothèse K > 0

Si xy alors (x,y) = 1
=> d(x,y) > K > 0 c'est toujours vrai

Tu commences ta démonstration avec ce que tu veux montrer, ça n'ira pas, la conclusion doit arriver à la fin.

On veut montrer que .

On commence donc la démo par :

"Soit ."

On doit maintenant choisir et judicieusement en fonction de K pour obtenir l'inégalité souhaitée.

Ok Ok j'ai tout compris par contre pourquoi K0 et non K > 0 ??

On peut très bien avoir une application K-lipschitzienne avec K = 0, même si ça ne présente pas beaucoup d'intérêt (l'application serait alors constante). Il est possible que ton prof les ait définies avec , dans ce cas là, c'est bien qu'il faut mettre.

Quel est le couple (x,y) que l'on peut choisir ici ?

on peut par exemple prendre x = 5 et y = 3 => d(x,y) = 2 et (x,y) = 1 => 5 > k * 3

euhh => 2 > K * 1 avec K > 0

Pourquoi aurait-on ? (d'ailleurs, ça serait plutôt 2K, vu la valeur de d(x,y))
Le K est fixé à l'avance, on sait rien sur lui, il pourrait très bien valoir 2, et dans ce cas là, ton inégalité est fausse.

Comme je te l'ai dit, ton choix de (x,y) doit être fait en fonction de K.

Pourquoi on écrit pas juste ceci:
Si xy alors (x,y) = 1
=> d(x,y) > K > 0 c'est toujours vrai

Que signifie "c'est toujours vrai" ? Si c'est pour tout x et y, alors c'est non.
Par contre, c'est vrai pour des choix particuliers de x et y, et c'est là qu'il faut en venir, puisqu'on doit choisir des x et y particuliers.

Ah d'accord !! on va dire pour x > 0 et y > 0

On cherche à trouver un couple de réels x et y distincts tels que .

Est-ce qu'il n'y a en pas un qui te vient à l'esprit ?

il y en a une infinité !! x=1 et y=0 1>K>0
                          x=1/2 et y=0 1/2>K>0

Ca doit dépendre de K !!

Pourquoi aurait-on K < 1/2 ?
Comme je l'ai dit, K est quelconque, on ne sait rien sur lui, c'est x et y qui doivent dépendre de K !

x < y < K ??

Non.

Réfléchis à x = 0 et y = K+1.