La complétude de résulte de celle de (assez facile à montrer)

Pour celle de :
   1.Certains le construisent pour qu'il le soit (Cauchy avec ses suites)
   2.D'autres en rajoutant des éléments à pour avoir le théorème de la borne supérieure.
   3.D'autres en rajoutant des éléments à pour avoir le théorème 'des segments emboités"
...etc...

Indique moi donc comment on te l'a condtruit et je pourrai te donner des indications .

Ben en faite je n'ai pas de démonstration dans mon cours donc la plus simple me conviendrait très bien

Je te demande comment on t'a condtruit .

Avec la première méthode que je t'ai indiquée il n'y a rien à prouver.

Et bien on me l'a construit en complétant Q pour avoir le théorème de la borne supérieure.

Tu dispose donc du théorème de la borne supérieure (et donc de la borne inférieure) et du théorème des suites adjacentes .

Prends u : une suite bornée.  Pour tout n pose s(n) = Sup{ u(k) | k n}  et t(n) = Inf{ u(k) | k n} . La suite s est croissante et t est décroissante. Coomme s t elles convergent (s vers sup(s) et t vers inf(t)).
Il reste à voir que u est de Cauchy SSI sup(s) = inf(t) .( rédige avec les )pour constater  que si  u est de Cauchy  alors elle converge .

Je ne comprend pas comment montrer la monotonie des suites s et t.

Pour tout n on pose  R(n) = { u(k) | k n} .
1.La suite R est décroissante .
2.Sup est croissante donc t = sup o R est décroissante .
3.Inf est décroissante  donc s est croissante


A toi de montrer que si A B on a sup(A) sup(B) et inf(A) inf(B).

D'accord. Et en fait pour la fin de la demonstration on montre que si la suite est de cauchy alors inf t=sup s donc que la suite est constante à partir d'un certain rang donc qu'elle converge. Est-ce bien ça?

non

Regarde par exemple u : n (-1)ⁿ⁺¹/(n + 1)
Elle est bien sûr de CAUCHY ; mais elle n'est pas constante . Calcule s(n) et t(n) pour tout n .

Je suis d'accord pour le contre exemple mais alors je ne comprend pas la fin de la demonstration. Que faut-il faire?

_{bonjour kybjm auriez-vous une idée pour ce topic où beaucoup sèchent : Une série récalcitrante ?}