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Nombre complexe

Posté par
Miguel78 09-10-23 à 21:19

Bonsoir,

Je voudrais savoir si quelqu'un pourrait m'aider sur l'exercice suivant dont je suis bloqué depuis un certain temps. J'ai mis sous l'énonce ce que j'ai déjà fait.

Voici l'énoncé:

Déterminer tout les nombres complexes de module 1 tels que (z/(z-1))^3 appartient à R.

Ce que j'ai fait pour l'instant c'est:

Z= (z/(z-1))^3 =((e^i)/(e^i)-e^i0)

Le module étant égal à 1 je n'est pas écrit le 1xe^i()

Posté par
GBZMre : Nombre complexe 09-10-23 à 21:25

Bonsoir,
Tu penses qu'un nombre complexe de module 1 est forcément égal à e^{i\pi}=-1 ? Pourquoi as-tu écrit cela ?

Posté par
Miguel78re : Nombre complexe 09-10-23 à 21:35

Parceque arg (z) est congrue à modulo 0 []. Mais c'est vrai que sa devrait être a 2pi près

Posté par
malou Webmasterre : Nombre complexe 09-10-23 à 21:37

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?

Posté par
Miguel78re : Nombre complexe 09-10-23 à 21:43

Je sais pas quel méthode employée pour trouver à quoi devrait être égal z..

Posté par
ThierryPomare : Nombre complexe 09-10-23 à 21:48

Bonjour
L'identité e^{i\,x}=\cos\,x+i\,\sin\,x vérifiée pour tout réel x ne te dit donc rien ? Si x est un réel quelconque, quel est le module de e^{i\,x} ?
Comment traduire alors qu'un nombre complexe z est de module 1 ?

Posté par
Miguel78re : Nombre complexe 09-10-23 à 21:54

Le module de e^ix est égal à 1. Pour traduire on peux dire que e^ix=z

Posté par
Miguel78re : Nombre complexe 09-10-23 à 21:56

Mais en développant, comment faire pour isoler z ?

Posté par
ThierryPomare : Nombre complexe 09-10-23 à 21:59

Je ne réponds pas à ta question. En revanche, comment traduire qu'un nombre complexe z' est réel ?
Tu seras ainsi bien armé, en effectuant toi-même les recherches

Posté par
ThierryPomare : Nombre complexe 09-10-23 à 22:01

Pour ta réponse Nombre complexe , il manque une précision importante.

Posté par
ThierryPomare : Nombre complexe 09-10-23 à 22:03

Pour ta réponse du 09-10-23 à 21:54, il manque une précision importante.

Posté par
Miguel78re : Nombre complexe 09-10-23 à 22:06

Si le conjuguer de z' = z'?

Posté par
ThierryPomare : Nombre complexe 09-10-23 à 22:09

Ok ! Comme je te le demandais, z=e^{i\,x} est-elle vérifiée pour tout réel x ou bien pour un certain réel x modulo 2\,\pi ? Comment l'écrire exactement ?

Posté par
GBZMre : Nombre complexe 09-10-23 à 22:19

Bon, Thierry Poma a décidé d'intervenir alors que j'avais commencé à répondre. Je lui laisse la main, mais je n'aurais pas suivi la voie qu'il prend.

Posté par
ThierryPomare : Nombre complexe 09-10-23 à 22:20

Dernière information, l'application \R\to\C,\,x\mapsto{}e^{i\,x} est, comme ses homologues \cos et \sin, 2\,\pi-périodique. Que peux-tu donc faire ?

Posté par
ThierryPomare : Nombre complexe 09-10-23 à 22:22

GBZM : bonsoir. Toutes mes excuses. tu peux prendre la suite ; je m'efface, car je pense que mes indications ne sont pas adaptées à Miguel78. Désolé !!

Posté par
GBZMre : Nombre complexe 09-10-23 à 22:27

T.P., continue, tu verras bien.

Posté par
Miguel78re : Nombre complexe 09-10-23 à 22:31

x est vérifié pour tout réel x car z appartient a l'ensemble U ={z appartenant à l'ensemble complexe/|z|=1}

Posté par
Miguel78re : Nombre complexe 09-10-23 à 22:32

Je ne vois pas à quoi ces indications me guides, je voudrais juste savoir par quel méthode..

Posté par
ThierryPomare : Nombre complexe 09-10-23 à 22:36

@Miguel : je me rends compte après coup qu'il y a plus simple. Je pense honnêtement que GBZM te sera un bien meilleur guide. Bonne soirée.

Posté par
Miguel78re : Nombre complexe 09-10-23 à 22:42

D'accord, je voudrais juste savoir GBZM comment isoler z car cela me semble compliqué avec la puissance 3

Posté par
GBZMre : Nombre complexe 09-10-23 à 22:57

Reprenons depuis le début.
Tu avais écrit

Citation :
Parceque arg (z) est congrue à modulo 0 [].
. Pourquoi ? Il n'y a aucune raison qu'un nombre complexe de module 1 ait un argument égal à 0 modulo \pi.
Un nombre complexe non nul s'écrit re^{ix} où r est son module et x son argument (défini modulo 2\pi). Un nombre complexe de module 1 ... tu vois ?
Avec z=e^{ix}, le dénominateur z-1 s'écrit e^{ix}-1. Saurais tu écrire cela sous la forme a e^{i b} avec a et b réels ?

Posté par
Miguel78re : Nombre complexe 09-10-23 à 23:28

Merci pour votre aide

Posté par
GBZMre : Nombre complexe 11-10-23 à 09:24

On ne saura pas si Miguel78 s'en est sorti.
Le truc classique est :

\begin{aligned}\Large e^{ia}-e^{ib}&=e^{i(a+b)/2}\left( e^{i(a-b)/2}- e^{i(b-a)/2}\right)\\&= e^{i(a+b)/2}\left(2i\sin((a-b)/2)\right)=2\sin((a-b)/2) e^{i(a+b+\pi)/2}\;.\end{aligned}

On lo'applique ici à e^{ix}-1=e^{ix}-e^{i\times 0}.


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