c'est laquelle ta prépa?

C'est quoi l'interet de cette question ?

En ce qui concerne d'exhiber une suite de Cauchy non constante, on aime souvent prendre a_n=1/n! .
Essaie ici, ca à l'air d'avoir du sens.

D'une façon générale, un espace de Banach ne peut pas être de dimension dénombrable.

Je ne comprend pas ce que tu veux dans ta 2e question.

2eme question : montrer qu'une application est continue...enfin je pense!

OK, ca ca va mais la norme subordonnée ?

Au passage, il y'a une chose que je pense avoir mal comprise.
R[X] c'est bien l'ensemble des polynôme ?
Sinon tu parles peut être de R[[X]] qui est l'ensemble des séries formelles, auxquel cas c'est une autre histoire ...

oui on parle bien de polynome...à ce propos la suite 1/n! appartient a R[X]???
la norme subordonnée est sup{N(f(x)),N(x)<1}

Bein 1/n! est un nombre donc oui, mais je t'ai dit de prendre a_n=1/n! donc les polynomes de la forme somme des x^n/n!.

et cette suite diverge...?

Je pense bien que oui... il faut le vérifier mais j'en suis pratiquement certain.

pour la continuité je pensais utiliser
il existe M ,N(f(x))<M.N'(x) mais avec la somme infinie je ne trouve pas de valeur fixe pour M

Otto, je présume qu'en prenant an=1/n! tu cherches à caractériser que la série de cauchy associée ne converge pas dans Q?Mais il faudrait au préalable s'assurer qu'on cherche à montrer la non complétude de Q(X) muni de cette norme.

au temps pour moi, en fait la suite de cette suite serait exp(x) qui n'est pas un polynome.En fait mon exemple aurait pu marcher si on s'était placé dans Q(X) au lieu de R(X).