Niveau maths spé

Normes en dimension infinie

Posté par
puisea 20-10-08 à 16:25

Bonjour, encore une fois j'ai une question un peu bête...

On se place dans le sous-espace vectoriel de $E=\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ suivant :

$l_1=\{x\in E,\sum_{x=0}^{+\infty}|x_n|\quad\rm{CV}\}$

On a les deux normes suivantes :

$||x||_1=\sum_{n=0}^{+\infty}|x_n|$

$||x||_2=\sqrt{\sum_{n=0}^{+\infty}x_n^2}$

On me demande si ces deux normes sont équivalentes sur $l_1$ . Alors on a $\forall x\in E$ , $||x||_2\le||x||_1$ .
Mais pour dans l'autre sens, je ne vois pas de manière évidente...

Merci d'avance.

Posté par re : Normes en dimension infinie 20-10-08 à 16:30

Bonjour, puisea

On considère la suite dont les n premiers termes valent 1/n et dont tous les autres sont nuls. Elle est de norme1 égale à 1 et de norme2 égale à racine carrée de 1/n ...

Posté par re : Normes en dimension infinie 20-10-08 à 16:35

Bonjour perroquet,

et oui... bien sûr ! Cela nous permet de conclure que les normes ne sont pas équivalentes...

Merci.

Posté par re : Normes en dimension infinie 20-10-08 à 16:40

Bonjour Pierre

Regarde l'élément X_k défini par

$(X_k)_n=\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt k}\ si\ n\leq k-1\\ 0 \ si\ n\geq k\end{array}$

Posté par re : Normes en dimension infinie 20-10-08 à 16:41

Grillée... Salut perroquet

Posté par re : Normes en dimension infinie 20-10-08 à 16:42

Bonjour Camélia.

Merci quand même

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