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normes équivalentes

Posté par
vyse 06-12-09 à 11:28

Bonjour,

soit E un evn de dim finie,
\forall x \in K^n, ||x||_\infty = sup_i |x_i|,
\forall y \in E, N_0(y) = sup_i |y_i| avec y = \sum_{i=1}^n y_ie_i

j'ai une ap° f : (K^n,||.||_\infty) ---> (E,N_0)
qui à x = (x_1,...,x_n) associe f(x) = \sum_{i=1}^n x_ie_i
continue, bijective et d'inverse continue
elle est aussi une isométrie.

Si je remplace ||.||_\infty par N_1 une norme quelconque de K^n, et N_0 par N_2 une norme quelconque de E,[tex]
est-ce que cette fonction sera encore une isométrie??

merci pour toute indication...

Posté par
Camélia Correcteurre : normes équivalentes 06-12-09 à 14:55

Bonjour

Ce sera toujours un isomorphisme homéomorphisme, mais pas forcément une isométrie... Ici N_0 est intimement liée à ||\ ||_\infty. Mais si par exemple tu gardes ||\ ||_\infty et tu remplaces N_0 par N_0/2 (c'est bien une norme) c'est évident que ce n'est plus une isométrie.

Posté par
vysere : normes équivalentes 07-12-09 à 10:14

oui c'est vrai, mais je me servais de isométrie pour dire qu'il était bijectif...

Posté par
Arkhnorre : normes équivalentes 07-12-09 à 10:19

Bonjour.

On a pas besoin de l'isométrie pour le montrer, ça se fait directement en raison avec les bases. (d'ailleurs, pour montrer que c'est une isométrie, tu dois aussi prouver la surjectivité ...)

Posté par
vysere : normes équivalentes 07-12-09 à 11:12

c'est ok ! thanks !


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