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notion de densité
bonjours a tous , j'ai de gros probleme pour reussir a comprendre et a assimiler la notion de densité , j'essaye mais je comprend pas les definition
l'une c'est en utilisant le voisinage , et l'autre avec les suites ,
donc si vous pouvier m'expliquer cette notion clairement ca serai vraiment sympa .
merci beaucoup
salut 
La notion de densité s'imagine très bien.
En gros, un ensemble est dense dans un autre si on peut trouver ses éléments un peu partout. Par exemple on prend l'exemple de Q, dense dans R. On peut traduire ça par le fait que sur la droite réel, il y a des rationnels partout, plus exactement, entre deux réels, on trouvera toujours un rationnel.
En terme de suite, si on se fixe un réel, on pourra toujours l'approcher d'aussi près que l'on veut par des rationnels (plus formellement, on on pourra toujours trouver une suite de rationnel qui converge vers ce réel).
Tu vois un peu?
Bonjour
Clairement! on peut essayer!
Je suppose que tu parles de parties denses dans R, non? Une partie A est dense dans R, si on peut trouver des éléments de A "un peu partout". Précisément, dans tout voisnage de tout point il y a des points de A. C'est équivalent de dire que n'importe quel point de R est limite d'une suite d'éléments de A.
Alors voilà un exemple évident: ]-
,0[
]0,+[ est dense dans R. Le seul point douteux est 0 qui, par exemple est limite de la suite (1/n).
L'ensemble Q des rationnels, l'ensemble D des décimaux, l'ensemble des irrationnels sont des parties denses de R.
En revanche, N et Z ne sont pas denses (pourquoi?)
donc si je comprend bien tes definition nightmare L'ensemble des entiers relatif n'est donc pas dense dans R
desoler j'avais pas lu ton post camelia
mais merci pour vos definition je croie avoir bien saisi le truc
donc si A est dense dans R on pourra toujours trouver pour tous point x de R une boule de centre x et de rayon r (r>0) inclura au moin un element de A
est ce juste ce que je vient de dire au moin ,,!
Dans ton écriture on a l'impression qu'il y a un même r pour tous les x...
Correct: Pour tout point x de R et tout r > 0, dans la boule B(x,r) il y a au moins un point de A.
Salut Camélia
bastos90 > Voila topologiquement c'est ça qui se passe, en fait, si on perd la notion de métrique (donc si on ne peut plus parler de limite), on va se référer à ce qu'on appelle l'adhérence d'une partie.
On défini l'adhérence d'une partie comme l'intersection de toute les parties fermés contenues dans cette partie.
On peut aussi la définir en terme de voisinage : Un élément est dans l'adhérence d'une partie si l'intersection de cette partie avec n'importe quel voisinage d'un point est non vide.
Question pour voir si tu as compris cette notion:
Que dire de l'adhérence d'une partie dense dans un ensemble E ?
Autre question pour voir si tu as compris la notion de densité :
Peux-tu me trouver un espace qui est dense dans l'ensemble des fonctions continues de R dans R ?
Bonjour à tous!
Jord -> De quelle topologie munis-tu ton espace?
Il serait plus raisonnable de considérer les fonctions continues d'un compact donné de R dans R , ou les fonctions continues de R dans R tendant vers 0 en l'infini, muni de la norme uniforme.
et je croie aussi que tous les point adherent a la partie seront ceux de E donc
l'adherence de I = R
pour resumer tous ce que j'ai dis parceque j'ai dis un peu trop de truc un peu trop vite :
si par exemple I est dense dans R alors l'adherence de I = R
Tigweg > Oui j'ai oublié de préciser, ça me semblait naturel ! On prend la norme de convergence uniforme.
bastos90 > effectivement, une partie est dense dans un espace E si et ssi son adhérence est l'espace tout entier.
bastos90 > Je réitère ma deuxième question avec plus de détail :
On considère l'espace des fonctions continues d'un intervalle [a,b] dans R, que l'on munit de la norme de convergence uniforme (). (Question, est-ce que cette dernière est bien une norme ?
)
Peux-tu me trouver un espace dense dans ce dernier?
Salut Camélia!
Jord-> Ce n'est pas possible de considérer cette norme dans l'espace des fonctions continues de R dans R, car elles ne sont pas toutes bornées.Il faut donc bien rajouter une condition à ton espace.
desoler nightmare mais je ne comprend pas du tous ce que tu dis dans ton dernier poste ,
--la norme de convergence uniforme ???
desoler mais (je le rappele ) ca fait que 1mois et demi que je suis a l'univ et donc c'est la premiere fois que je vois toutes ces notion , au lycee(chez nous en algerie en tous cas ) on ne les a jammais vu ce qui fait que je tarde un peux A COMPrendre ces nouvelle notions
Que ce soit les polynômes, les applications en escalier ou n'importe quoi D'accord. Bon et donc tu sais ce qu'est la convergence uniforme?
Si tu veux je te traduis ma question avec ces termes :
Peux-tu me trouver un espace de fonction tel que toute fonction continue sur un compact soit limite uniforme des éléments de cet espace ?
je suis vraiment desoler de te deranger et de poser des question qui te semble assez etrange mais je me base beaucoup sur l'analyse dans ces debut parceque ce sont des notion nouvelle et change un peu la maniere de voir les math (compare au lycee) et étant donne que l'algebre est assez facile et que l'algo est assez simple il me reste plus que l'analyse
tous ca pour dire que je suis desoler de toutes ces question dont je sais qu'elle sont bete
Ben non au contraire, c'est bien de s'intéresser.
je peux t'expliquer si tu le désires vraiment, mais je ne vais pas te forcer à trouver quelque chose que tu ne comprends pas
bonsoir a tous je reprend ce poste juste pour avoir une correction pour ma demo de :
PROUVER QUE Q EST DENSE DANS R : (ma demo ) ;
[a,b] dans R
on a b-a > 0
donc selon l'axiome d'archimede il existe un entiers m tel que
m(b-a) > 1 donc mb - ma > 1
donc la distance entre mb et ma est plus grande que 1 donc il existe un entier naturel telque
ma < n < mb donc
a < n/m < b et vu que n/m est rationel donc il existe un rationel compris entre a et b donc Q est dense dans R ..
voila je voudrais juste savoir si c'est juste ;;
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